单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
节约水 5 吨记作 +5 吨，则浪费水 2 吨记作
$\text{A.}$ -3 吨
$\text{B.}$ +2 吨
$\text{C.}$ -2 吨
$\text{D.}$ +3 吨
如图为出现在深圳街头的新型无线充电石墩，关于石墩的三视图的描述，正确的是
$\text{A.}$ 主视图和左视图相同
$\text{B.}$ 主视图和俯视图相同
$\text{C.}$ 左视图和俯视图相同
$\text{D.}$ 三个视图都相同
某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
如图为人行天桥的示意图，若高 $B C$ 长为 10 米，斜道 $A C$ 长为 30 米，则 $\sin A$ 的值为
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
下列计算正确的是
$\text{A.}$ $a^2+a^4=a^6$
$\text{B.}$ $a^3 \cdot a^3=a^6$
$\text{C.}$ $\left(a^2\right)^3=a^5$
$\text{D.}$ $(a+b)^2=a^2+b^2$
如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线 $O A$ 经平面镜后反射入眼，若 $C B / / O A, \angle C B O=122^{\circ}$ ， $\angle B O N=90^{\circ}$ ，则入射角 $\angle A O N$ 的度数为
$\text{A.}$ $22^{\circ}$
$\text{B.}$ $32^{\circ}$
$\text{C.}$ $35^{\circ}$
$\text{D.}$ $122^{\circ}$
某社区植树 60 棵，实际种植人数是原计划人数的 2 倍，实际平均每人种植棵树比原计划少了 3 棵．若设 原计划人数为 $x$ 人，则下列方程正确的是（ ）
$\text{A.}$ $\frac{60}{x}-\frac{60}{2 x}=3$
$\text{B.}$ $\frac{60}{2 x}-\frac{60}{x}=3$
$\text{C.}$ $\frac{60}{x}=2 \times \frac{60}{x+3}$
$\text{D.}$ $\frac{60}{x}=2 \times \frac{60}{x-3}$
如图，将正方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠，使得点 A 与对角线的交点 $O$ 重合，$E F$ 为折痕，则 $\frac{E F}{C G}$ 的值为（ ）
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若关于 $x$ 的方程 $x+a=5$ 的解为 $x=1$ ，则 $a=$
如图，将无人机沿着 $x$ 轴向右平移 3 个单位，若无人机上一点 $P$ 的坐标为 $(1,2)$ ，则平移后点 $P$ 的坐标为
计算：$\frac{a^2}{a+1}-\frac{1}{a+1}=$
如图，同一平面直角坐标系下的正比例函数 $y=a x$ 与反比例函数 $y=\frac{2-a}{x}$ 相交于点 A 和点 $B$ ．若 A 的横坐标为 1 ，则 $B$ 的坐标为
如图，以矩形 $A B C D$ 的 $B$ 点为圆心，$B C$ 的长为半径作 $\odot B$ ，交 $A B$ 于点 $F$ ，点 $E$ 为 $A D$ 上一点，连接 $C E$ ，将线段 $C E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转至 $E G$ ，点 $G$ 落在 $\odot B$ 上，且点 $F$ 为 $E G$ 中点．若 $A F=1$ ， $A E=3$ ，则 $C D$ 的长为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算：$\sqrt{16}+|-3|+(\pi-3.14)^0+(-1)^{2025}$ ．
解一元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x \geq x-1 ...(1) \\ \frac{1}{2}(x+2) < 3 ...(2)\end{array}\right.$ ，并在数轴上表示．
解：由不等式（1）得： $\_\_\_\_$ ，
由不等式（2）得： $\_\_\_\_$ ，
在数轴上表示为：
所以，原不等式组的解集为
某班级拟开展科技主题班会活动，现从＂科技安全＂，＂科技畅想＂，＂科技生活＂，＂科技前沿＂，＂科技故事＂中挑选一个主题。全班同学通过投票选出最受欢迎的主题，投票结果的条形统计图与扇形统计图如下：
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）本次投票共 $\_\_\_\_$人参与，其中科技安全所占百分比为 $\_\_\_\_$ ，并补全条形统计图。
（2）为确定班会科技主题，从该班选择7名学生代表为＂科技畅想＂和＂科技故事＂打分，分数列表如下：
求表中的数据：$a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ，$c=$ $\_\_\_\_$
（3）结合上述信息，应该选择哪个科技主题，并说明理由．
某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为 30 元／个，篮球，足球的价格如下表：
（1）请你从上述 3 个条件中任选 2 个作为条件，求出篮球和足球的单价；
（2）若该学校要购买篮球，足球共 10 个，且足球的个数不超过篮球个数的 2 倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
如图 1，在 Rt $\triangle A B C$ 中，$D$ 是 $A B$ 的中点，$A E=C D, A D=E C$ ．
（1）求证：四边形 $A D C E$ 为菱形；
（2）如图 2，若点 $O$ 为 $A C$ 上一点，且 $E, \mathrm{~A}, D$ 三点均在 $\odot O$ 上，连接 $O D, C D$ 与 $\odot O$ 相切于点 D ，
① 求 $\angle A C D=$ $\_\_\_\_$ ；
② 求 $\odot O$ 的半径 $r$ ；
（3）利用圆规和无刻度直尺在图 2 中作射线 $D F / / A C$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ，保留作图痕迹，不用写出作法和理由．
综合与实践
【问题背景】排队是生活中常见的场景，如图，某数学小组针对某次演出，研究了排队人数与安检时间，安排通道数之间的关系．
【研究条件】
条件 1：观众进场立即排队安检，在任意时刻都满足：排队人数＝现场总人数－已入场人数；
条件 2：若该演出场地最多可开放 9 条安检通道，平均每条通道每分钟可安检 6 人．
【模型构建】若该演出前 30 分钟开始进行安检，经研究发现，现场总人数 $y$ 与安检时间 $x$ 之间满足关系式： $y=-x^2+60 x+100(0 \leq x \leq 30)$
结合上述信息，请完成下述问题：
（1）当开通 3 条安检通道时，安检时间 $x$ 分钟时，已入场人数为 $\_\_\_\_$ ，排队人数 $w$ 与安检时间 $x$ 的函数关系式为 $\_\_\_\_$ ．
【模型应用】
（2）在（1）的条件下，排队人数在第几分钟达到最大值，最大人数为多少？
（3）已知该演出主办方要求：
① 排队人数在安检开始 10 分钟内（包含 10 分钟）减少；
② 尽量少安排安检通道，以节省开支．
若同时满足以上两个要求，可开设几条安检通道，请说明理由？
【总结反思】
函数可刻画生活实际场景，但要注意验证模型的正确性，未来可结合更多变量（如突发情况、安检流程优化等）进行更深入的分析，以提高模型的准确性和实用性．
综合与探究
【探索发现】如图 1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个四边形．
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为＂双等四边形＂，原等腰三角形称为四边形的＂伴随三角形＂．如图 2，在 $\triangle A B C$ 中，$A B=A C$ ， $A C=A D, \angle D=\angle B A C$ ．此时，四边形 $A B C D$ 是＂双等四边形＂， $ \triangle A B C$ 是＂伴随三角形＂．
【问题解决】如图 3，在四边形 $A B C D$ 中，$A B=A C, A D=C D, \angle D=\angle B A C$ ．求：
① $A D$ 与 $B C$ 的位置关系为： $\_\_\_\_$ ：
② $A C^2$ $\_\_\_\_$ $A D \cdot B C$. （填＂＞＂，＂＜＂或＂＝＂）
【方法应用】 ① 如图4，将 $\mathrm{V} A B C$ 绕点 A 逆时针旋转至 $\mathrm{V} A D E$ ，点 $D$ 恰好落在 $B C$ 边上，求证：四边形 $A B D E$ 是双等四边形．
② 如图 5，在等腰三角形 $A B C$ 中，$A C=B C, \cos B=\frac{3}{5}, A B=5$ ，在平面内找一点 $D$ ，使四边形 $A B C D$是以 $\triangle A B C$ 为伴随三角形的双等四边形，若存在，请求出 $C D$ 的长，若不存在，请说明理由．
