数学活动：探究平面图形的最小覆盖圆
【定义】我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆．
【探究一】线段的最小覆盖圆
线段 $A B$ 的覆盖圆有无数个，其中，以 $A B$ 为直径的圆是其最小覆盖圆．
理由如下：易知线段 $A B$ 的最小覆盖圆一定经过点 $A$ 、点 $B$ 。如图（1），以 $A B$ 为直径作 $\odot O$ ，再过 $A$ 、 $B$ 两点作 $\odot O^{\prime}$（ $O^{\prime}$ 与 $O$ 不重合），连结 $O^{\prime} A, O^{\prime} B$ 。
在 $\triangle O^{\prime} A B$ 中，有 $O^{\prime} A+O^{\prime} B>A B(\mathbf{\Delta})$ ．
$$
\because O^{\prime} A=O^{\prime} B,
$$
$\therefore 2 O^{\prime} A>A B$ ，即 $\odot O^{\prime}$ 的直径大于 $\odot O$ 的直径．
$\therefore \odot O$ 是线段 $A B$ 的最小覆盖圆．
＂ $\mathbf{\Delta}$＂处应填写的推理依据为 $\_\_\_\_$ ．
【探究二】直角三角形的最小覆盖圆
要确定直角三角形的最小覆盖圆，我们可先将其转化为【探究一】中线段的最小覆盖圆问题．这样就可以先确定直角三角形最长边（斜边）的最小覆盖圆，再判断直角顶点与这个圆的位置关系，从而确定直角三角形的最小覆盖圆．
如图（2），在Rt $\triangle A B C$ 中，$\angle A C B=90^{\circ} . \odot O$ 是以 $A B$ 为直径的圆．
请你判断点 $C$ 与 $\odot O$ 的位置关系，并说明理由．
又由【探究一】可知，$\odot O$ 是Rt $\triangle A B C$ 最长边 $A B$ 的最小覆盖圆，所以，$\odot O$ 是Rt $\triangle A B C$ 的最小覆盖圆．
【拓展应用】矩形的最小覆盖圆
如图（3），在矩形 $A B C D$ 中，$A B=1 \mathrm{~cm}, B C=2 \mathrm{~cm}$ ．
（1）用圆规和无刻度的直尺在图（3）中作矩形 $A B C D$ 的最小覆盖圆；
（不写作法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑）
（2）该矩形 $A B C D$ 的最小覆盖圆的直径为 $\_\_\_\_$ cm；
（3）若用两个等圆完全覆盖矩形 $A B C D$ ，则这样的两个等圆的最小直径为 $\_\_\_\_$ cm ．
