如图，在 $\triangle A B C$ 中，$\angle C=90^{\circ}, A C=B C=4$ ，点 $D$ 为边 $A C$ 的中点，点 $E$ 为边 $A B$ 上一动点，连结 $D E$ ，将线段 $D E$ 绕点 $E$ 顺时针旋转 $45^{\circ}$ 得到线段 $E F$ ．
（1）线段 $A B$ 的长为 $\_\_\_\_$ ；
（2）当 $E F \| A C$ 时，求 $A E$ 的长；
（3）当点 $F$ 在边 $B C$ 上时，求证：$\triangle A D E \cong \triangle B E F$ ；
（4）当点 $E$ 到 $B C$ 的距离是点 $F$ 到 $B C$ 距离的 2 倍时，直接写出 $A E$ 的长．