单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设总体 $X \sim N(\mu, 4),\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，在置信度为 $1-\alpha$ 下，关于参数 $\mu$ 的双侧置信区间的长度叙述正确的是（ ）．
$\text{A.}$ $\bar{X}$ 越大，置信区间的长度越短
$\text{B.}$ $\bar{X}$ 越大，置信区间的长度越长
$\text{C.}$ 置信区间的长度与 $\bar{X}$ 有关，但增减不确定
$\text{D.}$ 置信区间的长度与 $\bar{X}$ 无关
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设总体 $X \sim N(0,4),\left(X_1, X_2, X_3\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，且 $a\left(X_1^2+\right. \left.X_2^2+X_3^2\right) \sim \chi^2(n)$ ，求 $a, n$ 。
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right),\left(X_1, X_2, X_3, X_4\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求 $\frac{X_1-X_2}{\left|X_3-X_4\right|}$ 服从的分布．
设总体 $X \sim N\left(0,2^2\right),\left(X_1, X_2, X_3, X_4\right)$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，求 $\frac{X_1^2+X_2^2}{X_3^2+X_4^2}$ 服从的分布．
设 $X \sim t(2)$ ，求 $Y=\frac{1}{X^2}$ 所服从的分布．
设总体 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)= \begin{cases}\frac{2 x}{\theta^2}, & 0 < x < \theta,\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right) \text { 为来 } \\ 0, & \text { 其他，}\end{cases}$自总体 $X$ 的简单随机样本．
（1）求参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ ；
（2）求参数 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ；
（3）参数 $\theta$ 的矩估计量 $\hat{\theta}$ 是否为 $\theta$ 的无偏估计量．
某自动生产线生产大米，其重量服从正态分布，其标准重量为 100 斤，现测得 9 包的重量如下：
$$
99.3,98.7,100.5,101.2,98.3,99.7,99.5,102.1,100.5,
$$
在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，是否认为机器可以正常工作？
两种方法冶炼某金属材料，已知两种炼法杂质含量分别服从 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 及 $Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，从第一种炼法中取容量为 $m=13$ 的样本，从第二种炼法中取容量为 $n=9$ 的样本，且 $\bar{x}=25.68, s_1^2=5.862, \bar{y}=22.51, s_2^2=1.641$ ，问两种炼法的杂质含量差异是否具有显著差异（显著性水平 $\alpha=0.1$ ）？
某苗木基地培植苗木，已知苗木的直径服从正态分布，其总体的标准差按照以往经验为 0.048 ，随机取 5 根苗木，测得直径为 $1.32,1.55,1.36,1.40,1.44$ ，问在显著性水平 $\alpha=$ 0.1 下总体方差有无显著变化？