填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
不定积分$\int \frac{1}{\left(1+x^4\right) \sqrt[4]{1+x^4}} \mathrm{~d} x=$
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算二重积分
$$
I=\iint_D\left((x+y)^2 \max \{|x+y|,|x-y|\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中积分区域 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ．
求微分方程 $y^{\prime \prime}+\left(4 x+e^{2 y}\right)\left(y^{\prime}\right)^3=0,\left(y^{\prime} \neq 0\right)$ 的通解．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x, y)$ 是定义在 $x^2+y^2 \leq 1$ 上具有连续偏导数的实函数且 $|f(x, y)| \leq 1$ ，证明在单位圆内存在一点 $\left(x_0, y_0\right)$ ，使得
$$
\left[f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)\right]^2+\left[f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)\right]^2 \leq 16
$$