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厦门大学《线性代数》期末考试试卷

发布日期 2025/10/7 18:37:26      查看 9      加入组卷      查看作者     
单选题
若 $\left|\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array} \right\rvert\,=6$ ，则 $\left|\begin{array}{ccc}a_{12} & 2 a_{11} & 0 \\ a_{22} & 2 a_{21} & 0 \\ 0 & -2 & -1\end{array}\right|$ 的值为（ ）．
$\text{A.}$ 12 ； $\text{B.}$ -12 ； $\text{C.}$ 18 ； $\text{D.}$ 0.
设 $A 、 B$ 为同阶方阵，则下面各项正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若 $A B=0$ ，则 $A=0$ 或 $B=0$ $\text{B.}$ 若 $|A B|=0$ ，则 $|A|=0$ 或 $B \mid=0$ $\text{C.}$ $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$ $\text{D.}$ 若 $A 、 B$ 均可逆，则$(A B)^{-1}=A^{-1} B^{-1}$
若方程组 $\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & t \\ 3 & 6 & 9\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$ 的基础解系含有两个解向量，则 $t=$
$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 4 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 8
已知方程组 $A x=b$ 对应的齐次方程组为 $A x=0$ ，则下列命题正确的是 （ ）．

$\text{A.}$ 若 $A x=0$ 只有零解，则 $A x=b$ 一定有唯一解； $\text{B.}$ 若 $A x=0$ 有非零解，则 $A x=b$ 一定有无穷解； $\text{C.}$ 若 $A x=b$ 有无穷解，则 $A x=0$ 一定有非零解； $\text{D.}$ 若 $A x=b$ 有无穷解，则 $A x=0$ 一定只有零解．
设 $u_1, u_2$ 是非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个解，则以下结论正确的是

$\text{A.}$ $u_1+u_2$ 是 $A x=b$ 的解； $\text{B.}$ $u_1-u_2$ 是 $A x=b$ 的解； $\text{C.}$ $k u_1$ 是 $A x=b$ 的解（ $k \neq 1$ ）； $\text{D.}$ $u_1-u_2$ 是 $A x=0$ 的解．
设 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关，则以下结论正确的是（）。
$\text{A.}$ $a_1, a_2$ 一定线性相关； $\text{B.}$ $a_1, a_3$ 一定线性相关； $\text{C.}$ $a_1, a_2$ 一定线性无关； $\text{D.}$ 存在不全为零的数 $k_1, k_2, k_3$ ，使得 $k_1 a_1+k_2 a_2+k_3 a_3=0$
若 $A=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & x\end{array}\right]$ 与 $B=\left[\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$ 相似，则 $x=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ -1 $\text{B.}$ 0 $\text{C.}$ 1 $\text{D.}$ 2
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+3 x_2^2+3 x_3^2+12 x_2 x_3$ 是（ ）。
$\text{A.}$ 正定的 $\text{B.}$ 半正定的 $\text{C.}$ 负定的 $\text{D.}$ 不定的
填空题
设 $A=\left[\begin{array}{lll}8 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1\end{array}\right], A^*$ 为 $A$ 的伴随矩阵，则 $\left|A^*\right|=$
非齐次线性方程组 $A_{m \times n} x=b$ 有唯一解的充分必要条件是
设方程组 $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1+x_3=2 \\ 5 x_1+3 x_2+(a+8) x_3=8\end{array}\right.$ ，当 $a$ 取 $\_\_\_\_$时，方程组无解．
设向量组 $a_1=(1,-3, k), a_2=(1,0,0), a_3=(1,3,-2)$ 线性相关，则 $k=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1{ }^2+x_2{ }^2+5 x_3{ }^2+2 t x_1 x_2-2 x_1 x_3+4 x_2 x_3$ 为正定二次型，则 $t$的取值范围是
3 阶方阵 $A$ 的特征值分别为 $1,-2,3$ ，则 $\left(A^2\right)^{-1}$ 的特征值为
解答题
计算行列式 $D=\left| \begin{array}{cccc}3 & 1 & -1 & 2 \\ -5 & 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & 1 & -1 \\ 1 & -5 & 3 & -3\end{array} \right|$
求 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 4 & 3\end{array}\right)$ 的逆矩阵 $A^{-1}$
求向量组 $\alpha_1=(2,1,1,1), \alpha_2=(-1,1,7,10), \alpha_3=(3,1,-1,-2), \alpha_4=(8,5,9,11)$ 的一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示．
已知 $A=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right]$ ，求 $A$ 的特征值
证明题
设列矩阵 $X=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^T$ 满足 $X^T X=1, E$ 为 $n$ 阶单位阵，$H=E-2 X X^T$ ，证明：$H$ 是对称阵，且 $H H^T=E$
证明二次型 $f=-5 x^2-6 y^2-4 z^2+4 x y+4 x z$ 是负定的．

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