填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x), f(1-x)=f(1+x)$ ，且 $P\{X \geqslant 2\}=$ 0.3 ，则 $P\{0 \leqslant X < 1\}=$ $\qquad$。
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}0, & x < -1, \\ 0.3, & -1 \leqslant x < 0, \\ 0.5, & 0 \leqslant x < 2, \\ 1, & x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 求 $P\{X=-1\}$ ， $P\{X=0\}, P\{X=2\}$ ．
口袋中装有六个球，标注为 $1,2,3$ 的球各两个，从中有放回地每次抽取一个球，连续抽 4 次，用 $X$ 表示 4 次中出现标注为 2 的球的个数．
（1）求 $X$ 的分布律；（2）求 4 次中取到标注为 2 的球的平均个数．
设随机变量 $X \sim P(\lambda)$ ，且 $2 P\{X=0\}=P\{X=1\}$ ，求 $P\{X \geqslant 2\}$ ．
设 $X \sim U(-1,2)$ ，对 $X$ 独立观察 4 次，用 $Y$ 表示 4 次中 $X \leqslant 1$ 出现的次数，求 $Y$ 的分布律．
设随机变量 $X \sim\left(\begin{array}{cccc}-2 & 0 & 1 & 2 \\ 0.2 & 0.1 & 0.3 & 0.4\end{array}\right), Y=X^2+1$ ，求 $Y$ 的分布．
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数和概率密度函数分别为 $F(x), f(x)$ ，又 $Y= \frac{X-1}{2}$ ，求 $Y$ 的分布函数和概率密度函数．
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f(x)=\frac{1}{\pi\left(1+x^2\right)}$ ，求随机变量 $Y=2 X+1$ 的概率密度．
甲口袋装有 3 个白球、 1 个红球，乙口袋装有 3 个白球、 2 个红球．从甲口袋取 1 个球放人乙口袋，再从乙口袋任取 2 个球，用 $X$ 表示取出的红球数，求 $X$ 的分布律．
设 $X \sim E(3)$ ，求 $P\{X \leqslant 3 \mid X>1\}$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)= \begin{cases}\frac{2 x}{9}, & 0 < x < 3 \text { ，} \\ 0 , 其他．\end{cases}$ , 随机变量 $Y= \begin{cases}1, & X \leqslant 1, \\ X, & 1 < X < 2, \text { 求随机变量 } Y \text { 的分布函数．} \\ 2, & X \geqslant 2,\end{cases}$
设连续型随机变量 $X$ 的分布函数为
$$
F(x)= \begin{cases}0, & x < 0, \\ a+b \arctan x, & x \geqslant 0,\end{cases}
$$
求常数 $a, b$ ．
设随机变量 $X$ 的分布律为
设 $Y=X^2-1$ ，求 $Y$ 的分布律．
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 < x < \pi, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
对 $X$ 重复观察 4 次，用 $Y$ 表示 4 次观察中出现 $X>\frac{\pi}{3}$ 的次数．
（1）求 $Y$ 的分布；
（2）求 $E\left(Y^2\right)$ ．
设 $X \sim N(0,1)$ ，且 $Y=X^2$ ，求随机变量 $Y$ 的概率密度
设随机变量 $X \sim E(5), Y=\min \{X, 2\}$ ，求 $Y$ 的分布函数．