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《概率论与数理统计》基础训练与提高（上）

发布日期 2025/9/14 20:16:08      查看 43      加入组卷      查看作者     
单选题
设某人向同一目标独立重复射击，每次命中目标的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，则此人第四次命中目标恰好两次的概率为
$\text{A.}$ $3 p(1-p)^2$ $\text{B.}$ $6 p(1-p)^2$ $\text{C.}$ $3 p^2(1-p)^2$ $\text{D.}$ $6 p^2(1-p)^2$ 。
设 $A, B$ 是两个随机事件，且 $P(B)>0, P(A \mid B)=1$ ，则
$\text{A.}$ $P(A+B)>P(A)$ $\text{B.}$ $P(A+B)>P(B)$ $\text{C.}$ $P(A+B)=P(A)$ $\text{D.}$ $P(A+B)=P(B)$ 。
二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，且 $X, Y$ 不相关，$f_X(x), f_Y(y)$ 分别为 $X, Y$ 的边缘密度，则在 $Y=y$ 下，$X$ 的条件密度函数 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ 为
$\text{A.}$ $f_X(x)$ $\text{B.}$ $ f_Y(y)$ $\text{C.}$ $f_X(x) f_Y(y)$ $\text{D.}$ $\frac{f_X(x)}{f_Y(y)}$ 。
填空题
设相互独立的随机事件 $A, B$ 皆不发生的概率为 $\frac{1}{9}, A$ 发生 $B$ 不发生与 $A$ 不发生 $B$ 发生的概率相等，则 $P(A+B)=$ $\qquad$。
一批产品中有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取 2 次，每次取 1 个，则第二次取到次品的概率为 $\qquad$。
设在区间 $(0,1)$ 内随机取两个数，则两数之差的小于 $\frac{1}{2}$ 的概率为 $\qquad$。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}1,0 < x < 1,0 < y < 2 x \\ 0, \text { 其他 }\end{array}\right.$ 。
（1）求随机变量 $X, Y$ 的边缘密度函数：（2）判断 $X, Y$ 的独立性；
（3）令 $Z=2 X-Y$ ，求 $Z$ 的密度函数。
设 $X \sim \pi(\lambda)$ ，且 $E[(X-1)(X-2)]=1$ ，则 $\lambda=$ $\qquad$。
某流水线上每个产品不合格的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，各产品合格与否相互独立，当出现
一个不合格产品时即停机检修，设从开机到第一次停机已生产的产品个数为 $X$ ，求 $E X, D X$ 。
解答题
现有三个箱子，第一个箱子中有 4 个黑球 1 个白球，第二个箱子中有 3 个黑球 3 个白球，第三个箱子 3 个黑球 5 个白球。
（1）从三个箱子中取一个箱子，再从中取一个球，求取到白球的概率。
（2）若取到的是白球，问是从第二个箱子中抽取的概率多少？
设随机变量 $X$ 分布如下：$P\{X=-1\}=\frac{1}{8}, P\{X=1\}=\frac{1}{4}$ ，在事件 $\{-1 < X < 1\}$ 发生下，随机变量 $X$ 落在 $(-1,1)$ 内任一子区间上的概率与该子区间长度成正比，其余部分概率为零，
求 $X$ 的分布函数 $F(x)$ 。
设 $X \sim E(2)$ ，又 $Y=1-e^{-2 X}$ ，求 $Y$ 服从的分布。
设 $X \sim U(0,1)$ ，在 $X=x(0 < x < 1)$ 下，$Y \sim U(0, x)$ ，求
（1）求 $(X, Y)$ 的联合密度函数；
（2）随机变量 $Y$ 的边缘密度；
（3）求 $P\{X+Y>1\}$ 。