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幂级数的级点与零点

发布日期 2025/7/14 8:33:25      查看 0      加入组卷      查看作者     
填空题
$z=0$ 为函数 $f(z)=6 \sin z^3+z^3\left(z^6-6\right)$ 的 $\qquad$级零点
$\left| e ^z\right|$ 在闭圆 $\left|z-z_0\right| \leqslant 1$ 上的最大值为
单选题
函数 $f(z)=\sin z^2 \cos \left(z^2-1\right)$ 的零点 $z=0$ 的阶数为 $(\quad)$ ．
$\text{A.}$ 4 $\text{B.}$ 5 $\text{C.}$ 6 $\text{D.}$ 9
解答题
试求 $\tan z$ 的全部零点，并指出它们各是几级零点．解 令 $\tan z=0$ ，得 $z=k \pi, k$ 为整数．
求 $f(z)=\sin z-\sin a$ 的所有零点，并指出它们的级．
设 $f(z)$ 在一个包含圆周 $\gamma$ 及其内部的区域内解析，而 $f(z)$ 在 $\gamma$ 内部有一个一级零点 $z_0$ ，则

$$
z_0=\frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{z f^{\prime}(z)}{f(z)} d z .
$$
在点 $z=0$ 解析，且满足条件

$$
f\left(\frac{1}{n}\right)=f\left(-\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{n^2} \quad(n=1,2, \cdots)
$$


的函数 $f(z)$ 是否存在？
判断 $i+i^2+\cdots+i^n+\cdots$ 敛散性
判断 $\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{3^n} \sin ( i n)$ 敛散性
讨论 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(1+ i )^{2 n}}$ 敛散性
讨论 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{a}{n}-\frac{b}{n+1}\right)$ 敛散性
证明：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{c+n-1}$ 收敛，但不绝对收敛．
幂级数 $\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{z^n}{a^n+ i b^n}(a>0, b>0)$ 的收敛半径为
将函数 $\frac{1}{(z-a)(z-b)} \quad(a \neq 0, b \neq 0)$ 展开为 $z$ 的幂级数，并指出其收敛区域．
将函数 $\frac{1}{\left(1+z^2\right)^2}$ 展开为 $z$ 的幂级数，并指出其收敛区域．
将函数 $e^{\frac{z}{z-1}}$ 展开为$z$的幂级数，并指出收敛半径。
证明题
设 $f(z)=\cos z$ ，试证：在任何圆周 $|z|=\gamma$ 上，都有点 $z$ ，使 $|\cos z|>1$ ．
设 $D$ 是一个有界区域，其边界为 $\partial D$ ．若 $f_n(z)(n=1,2, \cdots)$ 在区域 $D$ 内解析，在闭域 $\bar{D}$ 上连续，且级数．

$$
\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots+f_n(z)+\cdots
$$


在 $\partial D$ 上一致收敛，则 $\sum_{n=1}^{+\infty} f_n(z)$ 在闭域 $\bar{D}$ 上一致收敛．

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