填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $C$ 是围线：由线段 $-1 \leqslant x \leqslant 1, y=0$ 与上半单位圆周组成，如图3．12所示．
则积分 $\int_C|z| \bar{z} d z=$ $\qquad$ ．
解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证 $u(x, y)=x^2-y^2, v(x, y)=\frac{y}{x^2+y^2}$ 都是调和函数，但 $f(z)=u(x, y)+$ $i v(x, y)$ 不是解析函数．
设 $f(z)=u+ i v$ 为 $z$ 的解析函数，且 $u-v=(x-y)\left(x^2+4 x y+y^2\right)$ ．求出 $u$ 和 $v$ 。
计算积分 $\frac{1}{2 \pi i } \int_C \frac{ e ^z}{z(1-z)^3} d z$ ，其中 $C$ 为不经过点 0 与 1 的正向简单闭曲线．
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)$ 在曲线 $C$ 所围成的闭区域 $\bar{G}$ 上解析，$z_1, z_2, \cdots z_n$ 为 $G$ 内任意不同的几个点，令 $w_n(z)=\left(z-z_1\right)\left(z-z_2\right) \cdots\left(z-z_n\right)$ ．试证积分
$$
F(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_C \frac{f(\xi)}{w_n(\xi)} \frac{w_n(\xi)-w_n(z)}{\xi-z} d \xi .
$$
$F(z)$ 为次数不高于 $n-1$ 次多项式，且 $F\left(z_{ i }\right)=f\left(z_{ i }\right), i =1,2, \cdots, n$ 。
设 $f(t)$ 在 $|z| \leqslant 1$ 上解析，且在 $|z|=1$ 上有 $|f(z)-z| \leqslant|z|$ ，试证：$\left|f^{\prime}\left(\frac{1}{2}\right)\right| \leqslant 8$