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平面向量的基本定理与坐标运算

发布日期 2025/6/28 16:21:29      查看 58      加入组卷      查看作者     
单选题
已知向量 $\vec{a}=(2,1), \vec{b}=(-2,4)$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|$
$\text{A.}$ 2 $\text{B.}$ 3 $\text{C.}$ 4 $\text{D.}$ 5
已知向量 $\vec{a}=(2,3), \vec{b}=(3,2)$ ，则 $|\vec{a}-\vec{b}|=$
$\text{A.}$ $\sqrt{2}$ $\text{B.}$ 2 $\text{C.}$ $5 \sqrt{2}$ $\text{D.}$ 50
在 $\triangle A B C$ 中，$A D$ 为 $B C$ 边上的中线，$E$ 为 $A D$ 的中点，则 $\overrightarrow{E B}=$
$\text{A.}$ $\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}-\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$ $\text{C.}$ $\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A C}$
在 $\triangle A B C$ 中，$B E$ 是边 $A C$ 上的中线，$O$ 是 $B E$ 的中点，若 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A O}$ 等于（）
$\text{A.}$ $\frac{1}{2} \boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$ $\text{B.}$ $\frac{1}{2} a+\frac{1}{3} b$ $\text{C.}$ $\frac{1}{4} \boldsymbol{a}+\frac{1}{2} \boldsymbol{b}$ $\text{D.}$ $\frac{1}{2} \boldsymbol{a}+\frac{1}{4} \boldsymbol{b}$
多选题
下列说法不正确的是（ ）
$\text{A.}$ 若 $\vec{a}=(1,2), \vec{b}=(1,-1)$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{a}+\lambda \vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $\lambda$ 的取值范围是 $(-\infty, 5)$ $\text{B.}$ 若 $A, B, C$ 不共线，且 $\overrightarrow{O P}=2 \overrightarrow{O A}-4 \overrightarrow{O B}+3 \overrightarrow{O C}$ ，则 $P, A, B 、 C$ 四点共面 $\text{C.}$ 对同一平面内给定的三个向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ，一定存在唯一的一对实数 $\lambda, \mu$ ，使得 $\vec{a}=\lambda \vec{b}+\mu \vec{c}$ ． $\text{D.}$ $\triangle A B C$ 中，若 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C} < 0$ ，则 $\triangle A B C$ 一定是钝角三角形．
填空题
已知向量 $\vec{a}=(2,5), \vec{b}=(\lambda, 4)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\lambda=$ $\qquad$ ．
已知向量 $\boldsymbol{a}=(m, 2), \boldsymbol{b}=(3,-6)$ ，若 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$ ，则实数 $m$ 的值是（ ）
A．-4
B．-1
C． 1
D． 4
如图，向量 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}, \boldsymbol{a}$ 的起点与终点均在正方形网格的格点上，则向量 $\boldsymbol{a}$ 可用基底 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 表示为 $\qquad$ ．
已知点 $M$ 是 $\triangle A B C$ 的边 $B C$ 的中点，点 $E$ 在边 $A C$ 上，且 $\overrightarrow{E C}=2 \overrightarrow{A E}$ ，则向量 $\overrightarrow{E M}=$ $\qquad$ （用 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 表示）。
如图，在 $\triangle A B C$ 中，$M$ 是 $B C$ 的中点，点 $N$ 在 $A C$ 上，且 $A N=2 N C, A M$ 与 $B N$ 相交于点 $P$ ，求 $A P: P M$与 $B P: P N$ 的值．
如图，在 $\triangle A B C$ 中， $\overrightarrow{B D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上移动（不含端点），若 $\overrightarrow{A E}=\lambda \overrightarrow{A B}+\mu \overrightarrow{A C}$ ，则 $\frac{\lambda}{\mu}=$ $\qquad$ ， $\lambda^{2}-\mu$ 的最小值为 $\qquad$ ．
已知点 $A(2,1), B(3,5), C(3,2), \overrightarrow{A P}=\overrightarrow{A B}+t \overrightarrow{A C}(t \in \mathbf{R})$ ，若点 $P$ 在第二象限，则实数 $t$ 的取值范围是 $\qquad$ ．
已知向量 $\vec{a}=(m+4, m), \vec{b}=(3,1)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $m=$ $\qquad$ ．
在平行四边形 $A B C D$ 中，$E$ 是线段 $B D$ 的中点，若 $\overrightarrow{A B}=m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{E C}$ ，则 $m-n=$ $\qquad$ ．
解答题
在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $A(1,1), B(2,3), C(3,2)$ ．
（1）若 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=0$ ，求 $\overrightarrow{O P}$ 的坐标；
（2）若 $\overrightarrow{O P}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}(m, n \in \mathbf{R})$ ，且点 $P$ 在函数 $y=x+1$ 的图象上，求 $m-n$ 的值．
、已知 $A(-2,4), B(3,-1), C(-3,-4)$ ．设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{C A}=\boldsymbol{c}$ ，且 $\overrightarrow{C M}=3 \boldsymbol{c}, \overrightarrow{C N}=-2 \boldsymbol{b}$ ，
（1）求 $3 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}-3 \boldsymbol{c}$ ；
（2）求满足 $\boldsymbol{a}=m \boldsymbol{b}+n \boldsymbol{c}$ 的实数 $m, n$ ；
（3）求 $M, N$ 的坐标及向量 $\overrightarrow{M N}$ 的坐标．
平面内给定三个向量 $\boldsymbol{a}=(3,2), \boldsymbol{b}=(-1,2), \boldsymbol{c}=(4,1)$ ．
（1）若 $(\boldsymbol{a}+k \boldsymbol{c}) / /(2 \boldsymbol{b}-\boldsymbol{a})$ ，求实数 $k$ ；
（2）若 $\boldsymbol{d}$ 满足 $(\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c}) / /(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ ，且 $|\boldsymbol{d}-\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$ ，求 $\boldsymbol{d}$ 的坐标．
已知 $O$ 为坐标原点，向量 $\overrightarrow{O A}=(3,-4), \overrightarrow{O B}=(5,-3), \overrightarrow{O C}=(4-m, m+2)$ ．若点 $D\left(0, \frac{3}{2} m\right)$ ，求证：对任意实数 $m$ ，都有 $\overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{D C}$ ．