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柯西积分公式及其推论

发布日期 2025/6/27 17:14:41      查看 38      加入组卷      查看作者     
单选题
设 $C$ 为正向单位圆周，则复积分 $\int_C \frac{z}{(2 z+1)(z-2)} d z$ 的值为 () ．
$\text{A.}$ 0 $\text{B.}$ $-\frac{\pi}{3} i$ $\text{C.}$ $\frac{\pi}{5} i$ $\text{D.}$ $\frac{\pi}{4} i$
填空题
设 $C$ 为正向圆周 $|z|=3$ ，则积分 $\int_C \frac{ e ^z}{z\left(z^2-1\right)} d z=$ $\qquad$
设 $C$ 为正向圆周 $|\xi|=3, f(z)=\int_C \frac{3 \xi^2+7 \xi+1}{\xi-z} d \xi$ ，则 $f^{\prime}(1+ i )=$ $\qquad$ ．
解答题
设 $C$ 为不经过 $a$ 与 $-a$ 的正向简单闭曲线，$a$ 为不等于零的任何复数．试计算积分

$$
\int_C \frac{z}{z^2-a^2} d z
$$
的值．
若 $f(z)$ 在 $|z| \leqslant R$ 上解析，试证：
$\frac{R^2-|z|^2}{2 \pi i } \int_{|\xi|=R} \frac{f(\xi)}{(\xi-z)\left(R^2-\bar{z} \xi\right)} d \xi=f(z),|z| < R$ ，其中 $|\xi|=R$ 取正向。
求积分 $I=\int_C \frac{1}{z^3(z+1)(z-2)} d z$ 的值，其中 $C$ 为圆周 $|z|=r, r \neq 1,2$ ．
证明题
设 $C$ 为正向单位圆周，求积分 $\int_C \frac{ e ^z}{z} d z$ ，从而证明： $\int_0^{2 \pi} e^{\cos \theta} \cos (\sin \theta) d \theta=\pi$ ．
设函数 $f(z)$ 在单连通区域 $G$ 内解析，且在 $G$ 内的闭曲线 $C$ 上满足 $|f(z)-1| < 1$试证： $\int_C \frac{f^{\prime}(z)}{f(z)} d z=0$
设函数 $f(z)$ 在 $z$ 平面上解析，且 $|f(z)|$ 恒大于一个正的常数，试证 $f(z)$ 必为常数．
设 $f(z)$ 为非常数的整函数，又设 $R, M$ 为任意正数．试证：满足 $|z|>R$ 且 $|f(z)|$ $>M$ 的 $z$ 必存在．