单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则（ ）。
$\text{A.}$ $X+Y$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $\frac{X^2}{Y^2}$ 服从 $F$ 分布
设 $X \sim N(a, 2), Y \sim N(b, 2)$ 且 $X, Y$ 独立，分别在 $X 、 Y$ 中取容量为 $m$ 和 $n$ 的简单随机样本，样本方差分别记为 $S_X^2$ 和 $S_Y^2$ ，则 $T=\frac{1}{2}\left[(m-1) S_X^2+(n-1) S_Y^2\right]$ 服从（ ）分布。
$\text{A.}$ $t(m+n-2)$
$\text{B.}$ $F(m-1, n-1)$
$\text{C.}$ $\chi^2(m+n-2)$
$\text{D.}$ $t(m+n)$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自正态总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本， $\bar{X}$ 是样本均值，记
$$
\begin{array}{ll}
S_1^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, & S_2^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2, \\
S_3^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2, & S_4^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2,
\end{array}
$$
则服从自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的随机变量是（ ）．
$\text{A.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_1}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{B.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_2}{\sqrt{n-1}}}$
$\text{C.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_3}{\sqrt{n}}}$
$\text{D.}$ $t=\frac{\bar{X}-\mu}{\frac{S_4}{\sqrt{n}}}$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $X_1, X_2, \cdots, X_5$ 是取自正态分布 $N\left(0, \sigma^2\right)$ 的一个简单随机样本，若 $\frac{a\left(X_1+X_2\right)}{\sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}}$服从 $t$ 分布，则 $a=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $X \sim N\left(0,0.3^2\right),\left(X_1, X_2, \cdots, X_{10}\right)$ 是取自 $X$ 的一个样本，求
$$
P\left\{\sum_{i=1}^{10} X_i^2>1.44\right\}
$$
从方差为 20 和 35 的正态总体分别抽取容量为 8 和 10 的两个样本．试求第一个样本方差大于等于第二个样本方差两倍的概率．
某厂生产的灯泡使用寿命 $X \sim N\left(2250,250^2\right)$ 分布，现进行质量检查，方法如下：任意挑选若干个灯泡，如果这些灯泡的平均寿命超过 2200 小时，就认为该厂生产的灯泡质量合格，若要使检查能通过的概率超过 0.997 ，问至少应检查多少个灯泡？
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} e ^{-|x|}(-\infty < x < +\infty), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为总体 $X$的简单随机样本，其样本方差为 $S^2$ ，则 $E S^2=$
设 $F \sim F(m, n)$ ，证明：$F_{1-\alpha}(m, n)=\frac{1}{F_\alpha(n, m)}$ ．
在总体 $N\left(52,6.3^2\right)$ 中随机抽一容量为 36 的样本，求样本均值 $\bar{X}$ 落在 50.8 到 53.8之间的概率．
设总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right)$ ，从两个总体中分别抽样得：$n_1=8, S_1^2=8.75$ ； $n_2=10, S_2^2=2.66$ ．求概率 $P\left\{\sigma_1^2>\sigma_2^2\right\}$ ．
设总体 $X \sim \chi^2(n), X_1, X_2, \cdots, X_{10}$ 是来自 $X$ 的样本，求 $E(\bar{X}), D(\bar{X}), E\left(S^2\right)$ ．