解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试把 $(1,0,1,0)^{ T },(0,1,0,2)^{ T }$ 扩充成为 $R ^4$ 的一组标准正交基．
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 是欧几里得空间 耶 $^3$ 的一组基，已知内积关于基 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 的度量矩阵
$$
G=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 3
\end{array}\right)
$$
试将 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3$ 经施密特正交化化为标准正交基．
已知 $ R ^4$ 中向量 $\alpha _1=(1,1,0,0)^{ T }, \alpha _2=(0,1,1,0)^{ T }$ 生成子空间 $W=L\left( \alpha _1, \alpha _2\right)$ ．试在标准内积下，求正交补 $W^{\perp}$ 的一组标准正交基．
设 $e_1, e_2, e_3$ 是欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基，试求把 $e_1$变成 $\frac{2}{3} e_1+\frac{2}{3} e_2-\frac{1}{3} e_3$ ，把 $e_2$ 变成 $\frac{2}{3} e_1-\frac{1}{3} e_2+\frac{2}{3} e_3$ 的正交变换。