解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设二次型
$$
f=x_1^2-x_2^2-2 x_1 x_2+x_1 x_3+4 x_2 x_3
$$
试写出二次型 $f$ 的矩阵。
将二次型
$$
f=x_1 x_2+x_3 x_4
$$
写成矩阵表示形式。
设 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{array}\right)$ ，试写出以 $A$ 为矩阵的二次型．
设 $f=\sum_{i=1}^n a_i x_i \sum_{i=1}^n b_i x_i$ ，试写出二次型的矩阵．
设 $A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，秩 $A=n, A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式，$i, j=1,2, \cdots, n$ ．求二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|A|} x_i x_j$ 的矩阵，并写出 $f$ 的矩阵表示式。
用配方法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性替换．
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_1 x_2+x_1 x_3+x_2 x_3 .
$$
用配方法将下列二次型化为标准形，并写出可逆线性替换．
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2 x_3
$$
用配方法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性替换．
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2 x_1 x_2+3 x_2 x_3+4 x_1 x_3
$$