单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $y=f(x)$ 不是常函数，且是定义域为 R 的奇函数，若 $y=f(2 x+1)$ 的最小正周期为 1 ，则
$\text{A.}$ $f(x+1)=f(-x+1)$
$\text{B.}$ 1 是 $f(x)$ 的一个周期
$\text{C.}$ $f(1)=f(-1)=0$
$\text{D.}$ $f\left(\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{3}{2}\right)=1$
若函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f(2 x+1)$ 为偶函数，$f(x-1)$ 的图象关于点（3，3）成中心对称，则下列说法正确的个数为（）
（1）$f(x)$ 的一个周期为 2
（2）$f(22)=3$
（3）$\sum_{i=1}^{19} f(i)=57(i \in N)$
（4）直线 $x=4$ 是 $f(x)$ 图象的一条对称轴
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，$f(2 x+1)$ 是奇函数，且 $f(4 x+2)$ 是偶函数，则下列选项一定正确的是（ ）
$\text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的周期为 2
$\text{B.}$ 函数 $f(x)$ 的周期为 3
$\text{C.}$ $f(2022)=0$
$\text{D.}$ $f(2023)=0$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f(x+2)$ 是奇函数，$f(2 x+1)$ 是偶函数，则一定有（ ）
$\text{A.}$ $f(4)=0$
$\text{B.}$ $f(-1)=0$
$\text{C.}$ $f(3)=0$
$\text{D.}$ $f(5)=0$
已知 $f(x-1)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，$g(x)=f(2 x+3)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，则（ ）
$\text{A.}$ $g(2)=0$
$\text{B.}$ $g(3)=0$
$\text{C.}$ $f(3)=0$
$\text{D.}$ $f(5)=0$
给出定义：设 $f^{\prime}(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的导函数，$f^{\prime \prime}(x)$ 是函数 $y=f^{\prime}(x)$ 的导函数，若方程 $f^{\prime \prime}(x)=0$有实数解 $x=x_0$ ，则称 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为函数 $y=f(x)$ 的＂拐点＂．经研究发现所有的三次函数 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$ 都有＂拐点＂，且该＂拐点＂也是函数 $y=f(x)$ 的图像的对称中心，若函数 $f(x)=x^3-3 x^2$ ，则 $f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+f\left(\frac{3}{2021}\right)+\cdots+f\left(\frac{4040}{2021}\right)+f\left(\frac{4041}{2021}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 8082
$\text{B.}$ 2021
$\text{C.}$ -8082
$\text{D.}$ -2023
已知一元三次函数对称中心的横坐标为其二阶导函数的零点．若 $f(x)=x^3-3 x^2+3 x+1$ ，则 $f\left(\frac{2-\sqrt{3}}{2}\right)+f\left(\frac{2+\sqrt{3}}{2}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ $\frac{2-\sqrt{3}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{2+\sqrt{3}}{4}$
在同一坐标系中作出三次函数 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$ 及其导函数的图象，下列可能正确的序号是
$\text{A.}$ （1）（2）
$\text{B.}$ （1）（3）
$\text{C.}$ （3）（4）
$\text{D.}$ （1）（4）
设函数 $y=f^{\prime \prime}(x)$ 是 $y=f^{\prime}(x)$ 的导数，经过探究发现，任意一个三次函数 $f(x)=a x^3+b x^2+c x+d(a \neq 0)$ 的图象都有对称中心 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ ，其中 $x_0$ 满足 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$ ，已知函数 $f(x)=2 x^3-3 x^2+9 x-\frac{7}{2}$ ，则 $f\left(\frac{1}{2022}\right)+f\left(\frac{2021}{2022}\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ $\frac{3}{2}$
一般地，对于一元三次函数 $f(x)$ ，若 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right)=0$ ，则 $\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 为三次函数 $f(x)$ 的对称中心，已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+1$ 图象的对称中心的横坐标为 $x_0\left(x_0>0\right)$ ，且 $f(x)$ 有三个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）
$\text{A.}$ $\left(-\infty,-\frac{3 \sqrt[3]{2}}{2}\right)$
$\text{B.}$ $(-\infty, 0)$
$\text{C.}$ $(0,+\infty)$
$\text{D.}$ $(-\infty,-1)$