计算 $\int_0^{+\infty} x^{2010} \cdot e^{-x} d x$.
计算 求正常数 $a, b$, 使得 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{b x-\sin x} \int_0^x \frac{ t ^2 d t}{\sqrt{a+t^2}}=3$
试确定常数 C 之值, 使得曲线 $y=x+C x^2$ 与直线 $x=1, x=2$ 及 $x$ 轴所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体的体积最小。
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, $\int_a^b f(x) d x=\int_a^b x f(x) d x=0$,求证: $\exists \xi, \eta \in(a, b),(\xi \neq \eta)$, 使得 $f(\xi)=0, f(\eta)=0$.
设 $f(x)=[\varphi(x)-\varphi(0)] \ln (1+2 x), g(x)=\int_0^x \frac{t}{1+t^3} d t$, 其中 $\varphi(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且 $\varphi^{\prime}(0)=1$, 证明: $f(x)$ 与 $g(x)$ 为 $x \rightarrow 0$ 时的同阶无穷小。