求曲线 $y=x^2\left[\frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{ e }-1\right](x>0)$ 的斜渐近线.
设某光滑曲线的方程为 $f(x, y)=0(x>0,0 < y \leqslant a)$. 若该曲线在某点的切线与坐标轴及过切点平行于 $x$ 轴的直线所围成梯形的面积恒为 $a^2$, 且 $f(a, a)=0$. 求:
(1) 该曲线方程;
(2) 曲线上横坐标的最小值.
设 $f(x, y)$ 是可微函数, $f(0, y)$ 在 $y=0$ 处的切线方程为 $y=z$, 当 $x \rightarrow 0$ 时, $\int_0^x d u \int_0^{u^2} f(t, u) d t$与 $a x^b$ 为等价无穷小量, 求 $a, b$ 的值.
设 $f(x)$ 具有一阶连续导数,
$$
\iint_D f(x y) d \sigma=\int_0^x\left[f^{\prime}(t)-x t f\left(x^2-t^2\right)\right] d t, f(0)=a,
$$
其中 $D$ 是 $y=|x|^3$ 与 $y=1$ 围成的有界闭区域, 求 $\iint_D f(x y) d \sigma$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上具有二阶导数, $f(0)=f(1)=0, f^{\prime \prime}(x) < 0,0 \leqslant f(x) \leqslant 1$. 记曲线 $y=$ $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的长度为 $a$, 证明:
(1) 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得对任意 $x \in(0, \xi)$, 有 $f^{\prime}(x)>0$;
(2) $a < 3$.
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2-4 x_1 x_2+4 x_2^2, g\left(x_1, x_2\right)$ 的二次型矩阵为 $B =\left(\begin{array}{cc}1 & -1 \\ -1 & 2\end{array}\right)$.
（1）是否存在可逆矩阵 $D$, 使 $B = D ^{ T } D$ ? 若存在, 求出矩阵 $D$, 若不存在, 请说明理由;
(2) 求 $\max _{ x \neq 0} \frac{f( x )}{g( x )}$, 其中 $x =\binom{x_1}{x_2}$.