单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(1+\sin ^2 x\right)^{1902}-(\cos x)^{2022}}{\tan ^2 x} $
$\text{A.}$
$\text{B.}$
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$
设 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ ，作迭代序列 $x_n=\sin \left(x_{n-1}\right) ， n=1,2, \cdots$.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0$
(2)证明 $\left\{n x_n^2\right\}$ 收敛，并求其极限
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有连续二阶导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。
证明: (1) $\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x$
(2) $\left|\int_a^b f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$
设 $z=z(x, y)$ 是方程 $z^3=1+3 x y$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
证明: 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时, 有 $\frac{x^2+y^2}{4} \leqslant e^{x+y-2}$
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y$其中 $\sum$ 是由 $z=e^y(0 \leqslant y \leqslant 1)$ 绕$z$轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。
证明 $f(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y$ 在 $[0,+\infty)$ 上不一致收敛，但在 $(0,+\infty)$ 上连续
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$.
设D是由简单光滑闭曲线L围成的区域， $f(x, y)$ 在 $\bar{D}$ 上有连续偏导，记 $d=\max _{(x y) \in D} \sqrt{x^2+y^2}$
(1) 证明 $\iint_D f(x, y) d x d y=\int_L^{(x y) \in D} x \cdot f d y-\iint_D x \cdot \frac{\partial f}{\partial x} d x d y$
(2)若对 $\forall(x, y) \in L$ ，有 $f(x, y)=0$. 证明
$$
\iint_D f^2(x y) d x d y \leqslant d^2 \iint_D\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right] d x d y
$$