解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\sqrt{x-\ln (1+x)}, x \in[0,+\infty)$, 求 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime \prime}(0)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^{10 n}\left(1-\left|\sin \frac{x}{n}\right|\right)^n \mathrm{~d} x$ 的值.
设 $\alpha$ 为给定的实数, 若函数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \sin \left(n x+\frac{1}{n x}\right)
$$
关于 $x \in(0,2 \pi)$ 内闭一致收敛, 求 $\alpha$ 的取值范围.
求积分 $\int_0^\pi(\sin x)^{\frac{4}{3}}(\cos x)^{\frac{2}{3}} \mathrm{~d} x$ 的值.
求积分 $\iiint_{2 x^2+y^2 \leq z \leq x^2+4 x+y}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的值.
设 $f(x)$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的实函数, 存在 $M>0$, 使得对任何的 $x, y \in[-1,1]$ 成立 $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$, 若对任何固定的 $x$, 成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{x}{n}\right)=0$,
证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且导数为 0 .
计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{2^n(n+1)}$, 其中 $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}(n \geq 1)$
证明: (1) 曲线积分
$
\int_C \mathrm{e}^{-2 x y} \cos \left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} x-\mathrm{e}^{-2 x y} \sin \left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} y
$
与路径无关;
(2) 证明: $\lim _{R \rightarrow+\infty}\left(\int_0^R \cos x^2 \mathrm{~d} x-\int_0^R \mathrm{e}^{-2 x^2} \mathrm{~d} x\right)=0$;
(3) 证明: $\lim _{R \rightarrow+\infty}\left(\int_0^R \sin x^2 \mathrm{~d} x-\int_0^R \mathrm{e}^{-2 x^2} \mathrm{~d} x\right)=0$.