单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
解析函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 的导函数为
$\text{A.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i u_y$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(z)=u_x-i u_y$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(z)=u_x+i v_y$ ；
$\text{D.}$ $f^{\prime}(z)=u_y+i v_x$ ．
C 是正向圆周 $|z|=3$ ，如果函数 $f(z)=()$ ，那么 $\oint_C f(z) \mathrm{d} z=0$ ．
$\text{A.}$ $\frac{3}{z-2}$
$\text{B.}$ $\frac{3(z-1)}{z-2}$
$\text{C.}$ $\frac{3(z-1)}{(z-2)^2}$
$\text{D.}$ $\frac{3}{(z-2)^2}$
如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} c_n z^n$ 在 $z=2$ 点收敛，那么级数在
$\text{A.}$ $z=-2$ 点条件收敛；
$\text{B.}$ $z=2 i$ 点绝对收敛；
$\text{C.}$ $z=1+i$ 点绝对收敛；
$\text{D.}$ $z=1+2 i$ 点一定发散．
以下结论正确的选项是
$\text{A.}$ 如果函数 $f(z)$ 在 $z_0$ 点可导，那么 $f(z)$ 在 $z_0$ 点一定解析；
$\text{B.}$ 如果 $f(z)$ 在 C 所围成的区域解析，那么 $\oint_C f(z) d z=0$
$\text{C.}$ 如果 $\oint_C f(z) d z=0$ ，那么函数 $f(z)$ 在 C 所围成的区域一定解析；
$\text{D.}$ 函数 $f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在区域解析的充分必要条件是 $u(x, y) 、 v(x, y)$ 在该区域均为调和函数．
以下结论不正确的选项是
$\text{A.}$ $\infty$ 为 $\sin \frac{1}{z}$ 的可去奇点
$\text{B.}$ $ \infty$ 为 $\sin z$ 的本性奇点
$\text{C.}$ $\infty$ 为 $\frac{1}{\sin }$ 的孤立奇点
$\text{D.}$ $\infty$ 为 $\frac{1}{\sin z}$ 的孤立奇点
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\frac{1-i \sqrt{3}}{2}$ 的幅角是
$\operatorname{Ln}(-1+i)$ 的主值是
$f(z)=\frac{1}{1+z^2}, \quad f^{(5)}(0)=$
$z=0$ 是 $\frac{z-\sin z}{z^4}$ 的 ________ 极点
$f(z)=\frac{1}{z}, \operatorname{Re} s[f(z), \infty]=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(z)=x^2+a x y+b y^2+i\left(c x^2+d x y+y^2\right)$ 是解析函数，求 $a, b, c, d$
计算 $\oint_C \frac{e^z}{(z-1)^2 z} \mathrm{~d} z$ 其中 C 是正向圆周：
$\oint_{z=3} \frac{z^{15}}{\left(1+z^2\right)^2\left(2+z^4\right)^3} \mathrm{~d} z$
函数 $f(z)=\frac{z\left(z^2-1\right)(z+2)^3}{(\sin \pi z)^3}(z-3)^2$ 在扩大复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级．
将函数 $f(z)=\frac{1}{z^2(z-1)}$ 在以下区域展开成罗朗级数；
［1］ $0 < |z-1| < 1$ ，
［2］ $0 < |z| < 1$ ，
［3］ $1 < |z| < \infty$
用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题：
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}(x)-5 y^{\prime}(x)+4 y(x)=e^{-x} \\
y(0)=1=y^{\prime}(0)=1
\end{array}\right.
$$
求 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{t})=\boldsymbol{e}^{-\boldsymbol{\beta} \boldsymbol{t}}(\boldsymbol{\beta}>\boldsymbol{0})$ 的傳立叶变换，并由此证明：
$$
\int_0^{+\infty} \frac{\cos \omega t}{\beta^2+\omega^2} d \omega=\frac{\pi}{2 \beta} e^{-\beta \mid t}
$$