解答题 （共 14 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x}$.
$\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right), m, n$ 是任意正整数.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\cos \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)\right]^2$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n !}}{n}$.
$\lim _{\substack{x \rightarrow+\infty \\ y \rightarrow+\infty}}\left(\frac{x y}{x^2+y^2}\right)^{x^2}$.
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 存在二阶导数，且
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2}\right)=0 .
$$
求 $f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$.
计算定积分 $\int_{-2}^{-\sqrt{2}} \frac{\mathrm{d} x}{x \cdot \sqrt{x^2-1}}$.
求三重积分 $\iiint_{\Omega} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为平面 $x+2 y+z=1, x=0, y=0, z=0$ 围成的区域.
已知 $u$ 是关于 $x, y$ 的函数，且满足:
$u=f(x, y, z, t), g(y, z, t)=0, h(z, t)=0 .$
求 $\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}$.
设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 的单调增加函数，且存在极限
$\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_n\right)=A .$
证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$.
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续单调增加，证明:
$$
\int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \geq \frac{a+b}{2} \int_a^b f(x) \mathrm{d} x .
$$
证明: 函数项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n x}{1+n^5 x^2}$ 在 $[0,+\infty)$ 一致收敛.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 证明:
$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0^{+}} \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .
$$
设
$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rr}
\left( x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\
0 ,(x, y)=(0,0)
\end{array} .\right.
$
证明:
(1) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续;
(2) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处存在偏导数;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数不连续；
(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.