解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \cdot \sin \left(x^2\right)}$.
设 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=1$ ，分析
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
g(x) \sin \left(\frac{1}{x}\right), x>0, \\
g(x) \cos x, x \leq 0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
求 $I=\int x e^{a x} \cos (b x) \mathrm{d} x$ 以及 $J=\int x e^{a x} \sin (b x) \mathrm{d} x$.
设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足
$$
a_n=\frac{a_{n+1}^2}{n}+a_{n+1},(n=1,2,3, \cdots) .
$$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \ln n$.
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有二阶导数，且
$$
f^{(k)}(a)=f^{(k)}(b)=0,(k=0,1) .
$$
证明: 存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $f^{(2)}(\xi)=f(\xi)$.
利用致密性定理证明闭区间上的连续函数必然是有界的.
按照 $p$ 的范围来说明级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^p}-\ln \left(1+\frac{1}{n^p}\right)\right],(p>0)
$$
的收敛性.
求曲面 $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi, z=r \cot \alpha$ 在点 $M_0\left(r_0, \varphi_0\right)$ 处的切平面方程和法线，其中 $\alpha$ 为某常数.
讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1(-1)^n(1-x) \cdot x^n \mathrm{~d} x$ 的收敛性并计算其和.
设函数 $f(x)$ 连续， $\Sigma$ 是球面:
$$
x^2+y^2+z^2=1 \text { ，且 } a, b, c \text { 是常数. }
$$
证明:
$$
\iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^1 f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2} u\right) \mathrm{d} u .
$$
设 $a>0, b>0 ， m \neq 0$ 为某常数，计算积分:
$$
I(a, b)=\int_0^{+\infty} \frac{e^{-a x}-e^{-b x}}{x} \cos (m x) \mathrm{d} x .
$$
设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上有二阶连续偏导数，若对以任一点 $\left(x_0, y_0\right) \in \mathbb{R}^2$ 为中心，以任意 $r>0$ 为半径的上半圆周
$$
L_r: y-y_0=\sqrt{r^2-\left(x-x_0\right)^2} .
$$
均有 $I(r)=\int_{L_r} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$. 证明:
$$
P(x, y) \equiv 0, \frac{\partial Q(x, y)}{\partial x} \equiv 0
$$