解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos (\sqrt{x}))^{\frac{1}{x}}$.
若 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a,\left(a>0, a_n>0\right)$, 求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+\tan x)^{\frac{1}{4}}+(1-\sin x)^{\frac{1}{4}}-2}{x^2}$.
讨论函数 $f(x, y)=\left(1+\frac{2}{x^2}\right)^{\frac{x^4}{x^2+y^2}}$ 在点 $(0,0)$ 处的累次极限和重积分存在性，若存在求其值.
证明: $f(x)=\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致连续，但在 $(0,1)$ 上不一致连续.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，满足:
$$
f(a)=f(b)=0, f_{+}^{\prime}(a) \cdot f_{-}^{\prime}(b)>0 .
$$
证明: 至少存在不同的两点 $\xi, \eta \in[a, b]$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=f^{\prime}(\eta)=0 .
$$
证明: 二元函数 $f(x, y)=x^3-4 x^2+2 x y-y^2$在 $\mathbb{R}^2$ 上有唯一的极值点，且该极值点是极大值点但不是最大值点.
求三重积分 $I=\iiint_{\Omega} z \cdot \sqrt{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Omega$ 为 $y=\sqrt{2 x-x^2}$ 及平面 $z=0, z=a,(a>0)$ 和 $y=0$ 所围成的区域.
定义函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x^2}}, x \neq 0 \\ 0 & , x=0\end{array}\right.$.
(1) 证明: $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续且可导.
(2) 证明: $f^{\prime}(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续.
(3) 求 $f(x)$ 的单调区间、最大值点、最小值点.
设函数项级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{x e^{-n x}}{\ln n}$.
(1) 求函数项级数的收敛区间.
(2) 设 $a>0$ ，证明: 函数项级数在 $[a,+\infty)$ 上一致收敛.
设函数 $f_1(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可积， $A$ 是一个给定实数，且 $f_{n+1}(x)=A+\int_a^x f_n(t) \mathrm{d} t$ ，其中 $x \in[a, b], n=1,2, \cdots$.
(1) 证明: 函数列 $\left\{f_n(x)\right\}$ 在 $[a, b]$ 上一致收敛.
(2) 记 $\left\{f_n(x)\right\}$ 极限函数为 $f(x)$ ， 证明: $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可微.
求曲线积分
$I=\int_C x \ln \left(x^2+y^2-1\right) \mathrm{d} x+y \ln \left(x^2+y^2-1\right) \mathrm{d} y .$
其中 $C$ 是被积函数定义域内从 $(2,0)$ 到 $(0,2)$ 的逐段光滑曲线.
设 $f(x)$ 为区间 $[a, b]$ 上定义的连续且黎曼可积函数，证明: $\lim _{\lambda \rightarrow+\infty} \int_a^b f(x) \sin (\lambda x) \mathrm{d} x=0$.