单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$y=x \ln \left(e+\frac{1}{x-1}\right)$ 的斜渐近线方程是
$\text{A.}$ $y=x+e$
$\text{B.}$ $y=x+\frac{1}{e}$
$\text{C.}$ $y=x$
$\text{D.}$ $y=x-\frac{1}{e}$
函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x, x>0\end{array}\right.$ 的原函数为
$\text{A.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \cos x-\sin x, x>0\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}-x\right), x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln \left(\sqrt{1+x^2}+x\right)+1, x \leq 0 \\ (x+1) \sin x+\cos x, x>0\end{array}\right.$
设数列 $\left\{x_n\right\},\left\{y_n\right\}$ 满足 $x_1=y_1=\frac{1}{2}, x_{n+1}=\sin x_n, y_{n+1}=y_n^2$, 当 $n \rightarrow \infty$ 时
$\text{A.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的高阶无穷小
$\text{B.}$ $y_n$ 是 $x_n$ 的高阶无穷小
$\text{C.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的等价无穷小
$\text{D.}$ $x_n$ 是 $y_n$ 的同阶但非等价无穷小
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界, 则 $a, b$ 的取值范围 为
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
设函数 $y=f(x)$ 由 $\left\{\begin{array}{l}x=2 t+|t| \\ y=|t| \sin t\end{array}\right.$ 确定, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 连续, $f^{\prime}(0)$ 不存在
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)$ 连续, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(x)$ 在 $x=0$ 处不连续
若函数 $f(\alpha)=\int_2^{+\infty} \frac{1}{x(\ln x)^{\alpha+1}} d x$ 在 $\alpha=\alpha_0$ 处取得最小值, 则 $\alpha_0=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{\ln (\ln 2)}$
$\text{B.}$ $-\ln (\ln 2)$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{\ln 2}$
$\text{D.}$ $\ln 2$
设函数 $f(x)=\left(x^2+a\right) e^x$, 若 $f(x)$ 没有极值点, 但曲线 $y=f(x)$ 有拐点, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $[0,1)$
$\text{B.}$ $[1,+\infty)$
$\text{C.}$ $[1,2)$
$\text{D.}$ $[2,+\infty)$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $E$ 为 $n$ 阶单位矩阵, $M$ 为矩阵 $M$ 的伴随矩阵, 则 $\left(\begin{array}{ll}A & E \\ O & B\end{array}\right)^*= $
$\text{A.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -B^* A^*\\ 0 & A^* B^*\end{array}\right)$
$\text{B.}$ $\left(\begin{array}{cc}|A| B^* & -A^* B^* \\ 0 & |B| A^*\end{array}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -B^* A^* \\ 0 & |A| B^*\end{array}\right)$
$\text{D.}$ $\left(\begin{array}{cc}|B| A^* & -A^* B^* \\ 0 & |A|^*\end{array}\right)$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1+x_2\right)^2+\left(x_1+x_3\right)^2-4\left(x_2-x_3\right)^2$ 的规范形为
$\text{A.}$ $y_1^2+y_2^2$
$\text{B.}$ $y_1^2-y_2^2$
$\text{C.}$ $y_1^2+y_2^2-4 y_3^2$
$\text{D.}$ $y_1^2+y_2^2-y_3^2$
已知向量 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \beta_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 5 \\ 9\end{array}\right), \beta_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$, 若 $\gamma$ 既可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示, 也可由 $\beta_1, \beta_2$ 线性表示, 则 $\gamma=(\quad)$
$\text{A.}$ $k\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 4\end{array}\right), k \in R$
$\text{B.}$ $k\left(\begin{array}{c}3 \\ 5 \\ 10\end{array}\right), k \in R$
$\text{C.}$ $k\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), k \in R$
$\text{D.}$ $k\left(\begin{array}{l}1 \\ 5 \\ 8\end{array}\right), k \in R$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时,函数 $f(x)=a x+b x^2+\ln (1+x)$ 与 $g(x)=e^{x^2}-\cos x$ 是等价无穷小, 则 $a b=$
曲线 $y=\int_{-\sqrt{3}}^x \sqrt{3-t^2} d t$ 的弧长为
设函数 $z=z(x, y)$ 由 $e^z+x z=2 x-y$ 确定, 则 $\left.\frac{\partial^2 z}{\partial^2 x}\right|_{(1,1)}=$
曲线 $3 x^3=y^5+2 y^3$ 在 $x=1$ 对应点处的法线斜率为
设连续函数 $f(x)$ 满足: $f(x+2)-f(x)=x, \int_0^2 f(x) d x=0$, 则 $\int_1^3 f(x) d x=$
已知线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}a x_1+x_3=1 \\ x_1+a x_2+x_3=0 \\ x_1+2 x_2+a x_3=0 \\ a x_1+b x_2=2\end{array}\right.$ 有解,其中 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为常数, 若 $\left|\begin{array}{lll}a & 0 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a\end{array}\right|=4$ 则, $\left|\begin{array}{lll}1 & a & 1 \\ 1 & 2 & a \\ a & b & 0\end{array}\right|=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设曲线 L: $y=y(x)(x>e)$ 经过点 $\left(e^2, 0\right), \mathrm{L}$ 上任一点 $P(x, y)$ 到 $\mathrm{y}$ 轴的距 离等于该点处的切线在 $y$ 轴上的截距,
(I) 求 $y(x)$.
(II) 在 L上求一点, 使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小, 并求此最小面积.
求函数 $f(x, y)=x e^{c \alpha x}+\frac{x^2}{2}$ 的极值.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq \frac{1}{x \sqrt{1+x^2}}, x \geq 1\right\}$,
(I) 求 D 的面积.
(II) 求 D 绕 $\mathrm{x}$ 轴旋转所成旋转体的体积.
设平面有界区域 D 位于第一象限, 由曲线 $x^2+y^2-x y=1, x^2+y^2-x y=2$
与直线 $y=\sqrt{3} x, y=0$ 围成, 计算 $\iint_D \frac{1}{3 x^2+y^2} d x d y$.
设函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 上具有 2 阶连续导数, 证明:
(I) 若 $f(0)=0$, 则存在 $\xi \in(-a, a)$, 使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=\frac{1}{a^2}[f(a)+f(-a)]$.
(II) 若 $f(x)$ 在 $(-a, a)$ 内取得极值, 则存在 $\eta \in(-a, a)$ ，使得 $\left|f^{\prime \prime}(\eta)\right| \geq \frac{1}{2 a^2}|f(a)-f(-a)|$.
设矩阵 A 满足: 对任意 $x_1, x_2, x_3$ 均有 $A\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_1+x_2+x_3 \\ 2 x_1-x_2+x_3 \\ x_2-x_3\end{array}\right)$
(I) 求 A;
(II) 求可逆矩阵 $P$ 与对角矩阵 $\Lambda$, 使得 $P^{-1} A P=\Lambda$.