单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $A(3,1)$, 则点 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点的坐标是
$\text{A.}$ $(1,3)$
$\text{B.}$ $(-3,1)$
$\text{C.}$ $(3,-1)$
$\text{D.}$ $(-3,-1)$
数学中有许多精美的曲线, 以下是 “笛卡尔叶形线” “阿基米德螺线” “三叶玫瑰线” 和 “星形 线". 其中一定不是轴对称图形的是
$\text{A.}$ 
$\text{B.}$ 
$\text{C.}$ 
$\text{D.}$ 
地球是人与自然共同生存的家园, 在这个家园中, 还住着许多常常被人们忽略的微小生命. 在 冰岛海岸的黄铁矿粘液池中的古菌身上, 科学家发现了基因片段, 并提取出了最小的生命体, 它的直径仅为 $0.0000002$ 米. 将数字 $0.0000002$ 用科学记数法表示为
$\text{A.}$ $2 \times 10^{-7}$
$\text{B.}$ $2 \times 10^{-8}$
$\text{C.}$ $2 \times 10^{-9}$
$\text{D.}$ $20 \times 10^{-8}$
在下列运算中, 正确的是
$\text{A.}$ $a^2 \cdot a^3=a^6$
$\text{B.}$ $(3 a)^2=6 a^2$
$\text{C.}$ $\left(a^2\right)^3=a^5$
$\text{D.}$ $a^3 \div a^2=a$
下列式子从左到右变形正确的是
$\text{A.}$ $\frac{m^2}{n^2}=\frac{m}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{m}{-n}=-\frac{m}{n}$
$\text{C.}$ $\frac{m+1}{n}=\frac{m}{n}+1$
$\text{D.}$ $\frac{n+5}{n+1}=5$
将一副直角三角板按如图所示的位置摆放, 若 $D E / / A C$, 则图中 $\angle 1$ 的 度数是
$\text{A.}$ $60^{\circ}$
$\text{B.}$ $75^{\circ}$
$\text{C.}$ $90^{\circ}$
$\text{D.}$ $105^{\circ}$
如图, 四个等腰直角三角形拼成一个正方形, 则阴影部分的面积为
$\text{A.}$ $a^2+b^2$
$\text{B.}$ $a^2-b^2$
$\text{C.}$ $2 a b$
$\text{D.}$ $4 a b$
对于分式 $\frac{x-n}{x-m}(m, n$ 为常数 $)$, 若当 $x \geqslant 0$ 时, 该分式总有意义; 当 $x=0$ 时, 该分式的值为负数. 则 $m, n$ 与 0 的大小关系正确的是
$\text{A.}$ $m < 0 < n$
$\text{B.}$ $0 < m < n$
$\text{C.}$ $n < 0 < m$
$\text{D.}$ $0 < n < m$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
如果等腰三角形的两边长分别是 $2 \mathrm{~cm}$ 和 $6 \mathrm{~cm}$, 则该等腰三角形周长是
当 $x=$ 时, 分式 $\frac{2 x-4}{x-3}$ 的值为 0 .
如图, 点 $P$ 在正五边形的边 $B C$ 上运动 (不与点 $B, C$ 重合), 若 $\angle B A P=x^{\circ}$, 则 $x$ 的取值范围是
如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=30^{\circ}, A B=B C$, 点 $D, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上, 若沿直线 $D E$ 折叠, 点 $A$ 恰好与点 $B$ 重合, 且 $C E=6$, 则 $\angle E B C=$ , $A C=$
甲乙两位同学进行一种数学游戏. 游戏规则是：两人轮流对 $\triangle A B C$ 及 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 对应的边或角 添加等量条件 (点 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 分别是点 $A, B, C$ 的对应点). 某轮添加条件后, 若能判定 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 全等, 则当轮添加条件者失败, 另一人获胜.
上表记录了两人游戏的部分过程, 则下列说法正确的是 (塤写所有正 确结论的序号 ).
(1) 若第 3 轮甲添加 $A C=A^{\prime} C^{\prime}=5 \mathrm{~cm}$, 则乙获胜;
(2) 若甲想获胜, 第 3 轮可以添加条件 $\angle C=\angle C^{\prime}=30^{\circ}$;
(3) 若乙想获胜, 可修改第 2 轮添加条件为 $\angle A=\angle A^{\prime}=90^{\circ}$.
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算: $(-1)^2+2^{-2}-(2023-\pi)^0$.
计算: $x(x+4 y)-2 x \cdot 3 y$.
化简: $\frac{3 x^2+6 x}{x^2-4} \div\left(\frac{x+1}{x-2}-1\right)$.
如图, 两车从路段 $A B$ 的两端同时出发, 沿平行路线以相同的速度行驶, 相同时间后分别到 达 $C, D$ 两地. $C, D$ 两地到路段 $A B$ 的距离相等吗？ 为什么?
已知 $a^2-2 a-1=0$, 求代数式 $(2 a+1)(2 a-1)+(a-5)^2$ 的值.
如图, 已知线段 $A B$ 与直线 $C D$ 平行.
(1) 作 $\angle C A B$ 的角平分线 $A E$ 交直线 $C D$ 于点 $E$ ( 尺规作图, 保留作图痕迹, 不写作法);
(2) 在 (1) 的条件下, 若 $A E$ 的中点为 $F$, 连接 $B F$ 并延长交直线 $C D$ 于点 $G$, 请用等式表 示线段 $A B, A C, C G$ 之间的数量关系:
随着科技的发展，人工智能使生产生活更加便捷高效. 某科技公司生产了一批新型搬运机器 人, 打出了如下的宣传:
根据该宣传, 求新型机器人每天搬运的货物量.
我们知道, 代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形. 探究下列关 于 $x$ 的代数式, 并解决问题.
(1) 若计算 $x(x+a)$ 的结果为 $x^2+7 x$, 则 $a=$
(2) 若多项式 $x^2+b x-3$ 分解因式的结果为 $(x+3)(x-c)$, 则 $c=$ $b=$
(3) 若计算 $(d x+1)(x-d)$ 的结果为 $d x^2+m x-2$, 求 $m$ 的值.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 横、纵坐标都是整数的点叫做整点. 如图, 点 $A, B, C$ 的坐标分 别为 $(2,5),(1,2),(5,4), A B=A C$.
(1) $\angle B A C=$
(2) 若点 $D$ 为整点, 且满足 $\triangle A B D \cong \triangle A C D$, 直接写出点 $D$ 的坐标 (写出两个即可).
已知 $A=x+y, B=x^2-y^2, C=x^2-2 x y+y^2$.
(1) 若 $\frac{A}{B}=\frac{1}{5}$, 求 $C$ 的值;
(2) 在 (1) 的条件下, 且 $\frac{2 B+C}{B}$ 为整数, 求 $x$ 的值.
已知在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 且 $\angle B A C=\alpha$. 作 $\triangle A C D$, 使得 $A C=C D$.
(1) 如图 1, 若 $\angle A C D$ 与 $\angle B A C$ 互余, 则 $\angle D C B=$ (用含 $\alpha$ 的代数式表示 );
(2) 如图 2, 若 $\angle A C D$ 与 $\angle B A C$ 互补, 过点 $C$ 作 $C H \perp A D$ 于点 $H$, 求证: $C H=\frac{1}{2} B C$;
(3) 若 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A C D$ 的面积相等, 则 $\angle A C D$ 与 $\angle B A C$ 满足什么关系? 请直接写出你的结论.
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P, Q$ 分别在线段 $O A, O B$ 上, 如果存在点 $M$ 使得 $M P=M Q$ 且 $\angle M P Q=\angle A O B$ (点 $M, P, Q$ 逆时针排列), 则称点 $M$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点” . 如图 1, 点 $M$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点”。
(1) 如图 2, 已知点 $A(4,4), B(8,0)$, 点 $P$ 与点 $A$ 重合.
① 当点 $Q$ 是线段 $O B$ 中点时, 在 $M_1(4,2), M_2(6,2)$ 中, 其中是线段 $P Q$ 的 “关联点” 的是
② 已知点 $M(8,4)$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点”, 则点 $Q$ 的坐标是
(2) 如图 3, 已知 $O A=O B=4, \angle A O B=60^{\circ}$.
①当点 $P$ 与点 $A$ 重合, 点 $Q$ 在线段 $O B$ 上运动时 (点 $Q$ 不与点 $O$ 重合), 若点 $M$ 是线 段 $P Q$ 的 “关联点”, 求证: $B M / / O A$;
②当点 $P, Q$ 分別在线段 $O A, O B$ 上运动时, 直接写出线段 $P Q$ 的 “关联点” $M$ 形成的 区域的周长.
