单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
若反常积分 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{x^a(1+x)^b} \mathrm{~d} x$ 收敛, 则
$\text{A.}$ $a < 1$ 且 $b>1$.
$\text{B.}$ $a>1$ 且 $b>1$.
$\text{C.}$ $a < 1$ 且 $a+b>1$.
$\text{D.}$ $a>1$ 且 $a+b>1$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x < 1, \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
$\text{A.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x-1), & x \geqslant 1 .\end{cases}$
$\text{B.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)-1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1, \\ x(\ln x+1)+1, & x \geqslant 1 .\end{cases}$
$\text{D.}$ $F(x)= \begin{cases}(x-1)^2, & x < 1 \\ x(\ln x-1)+1, & x \geqslant 1\end{cases}$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$ 是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解, 则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$.
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$.
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$.
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$.
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \frac{1}{n}, & \frac{1}{n+1} < x \leqslant \frac{1}{n}, n=1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则
$\text{A.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点.
$\text{B.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点.
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续但不可导.
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵,且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似,则下列结论错误的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 相似.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{A}^{-1}$ 与 $\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{-1}$ 相似.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4 x_1 x_2+4 x_1 x_3+4 x_2 x_3$, 则 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=2$ 在空间直角坐标 下表示的二次曲面为
$\text{A.}$ 单叶双曲面.
$\text{B.}$ 双叶双曲面.
$\text{C.}$ 椭球面.
$\text{D.}$ 柱面.
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$, 记 $p=P\left\{X \leqslant \mu+\sigma^2\right\}$, 则 ( )
$\text{A.}$ $p$ 随着 $\mu$ 的增加而增加.
$\text{B.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而增加.
$\text{C.}$ $p$ 随着 $\mu$ 的增加而减少.
$\text{D.}$ $p$ 随着 $\sigma$ 的增加而减少.
随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_1, A_2, A_3$, 且三种结果发生的概率均为 $\frac{1}{3}$, 将试验 $E$ 独立 重复做 2 次, $X$ 表示 2 次试验中结果 $A_1$ 发生的次数, $Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_2$ 发生的次数,则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\text{A.}$ $-\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{2}$.
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$________.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^2}=$
向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$
设函数 $f(u, v)$ 可微, $z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^2=x^2 f(x-z, y)$ 确定, 则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$
设函数 $f(x)=\arctan x-\frac{x}{1+a x^2}$, 且 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$, 则 $a=$
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的简单随机样本, 样本均直 $\bar{X}=9.5$, 参数 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间的置信上限为 $10.8$, 则 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为
解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知平面区域 $D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$, 计算二重积分 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+k y=0$, 其中 $0 < k < 1$.
( I ) 证明: 反常积分 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 收敛;
(II) 若 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$, 求 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 的值.
设函数 $f(x, y)$ 满足 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=(2 x+1) \mathrm{e}^{2 x-y}$, 且 $f(0, y)=y+1, L_t$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1, t)$ 的光 滑曲线. 计算曲线积分 $I(t)=\int_{L_i} \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y$, 并求 $I(t)$ 的最小值.
设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成, $\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧, 计算曲面 积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知函数 $f(x)$ 可导, 且 $f(0)=1,0 < f^{\prime}(x) < \frac{1}{2}$. 设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_n\right)(n=1,2, \cdots)$. 证 明:
(I) 级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)$ 绝对收敛;
(II) $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 且 $0 < \lim _{n \rightarrow \infty} x_n < 2$.
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$. 当 $a$ 为何值时, 方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$ 无解 、有唯一 解、有无穷多解? 在有解时, 求解此方程.
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$.
(I) 求 $\boldsymbol{A}^{99}$;
(III) 设3 阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^2=\boldsymbol{B A}$. 记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$, 将 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 分别表示 为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性组合.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 < x < 1, x^2 < y < \sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布, 令 $U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y \\ 0, & X>Y\end{cases}$
( I ) 写出 $(X, Y)$ 的概率密度;
(II) 问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立? 并说明理由;
(III) 求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$.
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 x^2}{\theta^3}, & 0 < x < \theta, \\ 0, & \text { 其他, }\end{array}\right.$ 其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数, $X_1, X_2, X_3$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本, 令 $T=\max \left\{X_1, X_2, X_3\right\}$.
(I) 求 $T$ 的概率密度;
(II ) 确定 $a$,使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计.