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已知平面区域 $D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \frac{\pi}{2}\right\}$, 计算二重积分 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
                        
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