不等式比较大小基础训练

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不等式比较大小基础训练

一、单选题（共 2 题），每题只有一个选项正确

1. 若

a, b, c \in R, a > b

，则下列不等式恒成立的是（）

A.

\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

B.

a^{2} > b^{2}

C.

\frac{a}{c^{2} + 1} > \frac{b}{c^{2} + 1}

D.

a | c | > b | c |

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2. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把＂＝＂作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用＂

<

＂和＂＞＂符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若

a > b > 0

，则下列结论错误的是（）

A.

\frac{1}{a} < \frac{1}{b}

B.

\log_{2} (a - b) > 0

C.

a^{\frac{1}{2}} > b^{\frac{1}{2}}

D.

3^{a} > 3^{b}

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二、多选题（共 5 题），每题有多个选项正确

3. 若

a > b > 0

，则一下几个不等式中正确的是（）

A.

\frac{b}{a} > \frac{b + 5}{a + 5}

B.

\lg \frac{a + b}{2} > \frac{\lg a + \lg b}{2}

C.

\frac{2 a + b}{a + 2 b} < \frac{a}{b}

D.

2 \sqrt{a} - \sqrt{b} > \sqrt{a - b}

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4. 已知

a, b, c

均为非零实数，且

a > b > c

，则下列不等式中，一定成立的是（）

A.

a c > b c

B.

a c^{2} > b c^{2}

C.

(a - b)^{c} < (a - c)^{c}

D.

\ln \frac{a - b}{a - c} < 0

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5. 下列命题为真命题的是（）

A.

若

a > b, c > d

，则

a + c > b + d

B.

若

a > b, c > d

，则

a c > b d

C.

若

a > b

，则

a c^{2} > b c^{2}

D.

若

a < b < 0, c < 0

，则

\frac{c}{a} < \frac{c}{b}

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6. 如果

a < b < 0, c < d < 0

，那么下面一定成立的是（）

A.

a + d < b + c

B.

a c > b d

C.

a c^{2} > b c^{2}

D.

\frac{d}{a} < \frac{c}{a}

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7. 若

α, β

满足

- \frac{π}{2} < α < β < \frac{π}{2}

，则

2 α - β

的取值范围是（）

A.

- π < 2 α - β < 0

B.

- π < 2 α - β < π

C.

- \frac{3 π}{2} < 2 α - β < \frac{π}{2}

D.

0 < 2 α - β < π

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三、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

8. 已知

a_{1}, a_{2} \in (0, 1)

，记

M = a_{1} a_{2}, N = a_{1} + a_{2} - 1

，则

M

与

N

的大小关系是

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9. 若

a = \frac{\ln 2}{2}, b = \frac{\ln 3}{3}

，则

a

b

；（填＂

>

＂或＂

<

＂）

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10. 已知

- 1 < x < 4, 2 < y < 3

，则

x - y

的取值范围是

，

3 x + 2 y

的取值范围是

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四、解答题（共 6 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

11. 若实数

a \neq 1

，比较

a + 2

与

\frac{3}{1 - a}

的大小．

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12. 已知

M = \frac{e^{2021} + 1}{e^{2022} + 1}, N = \frac{e^{2022} + 1}{e^{2023} + 1}

，则

M, N

的大小关系为

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13. 设

a > b > 0

，试比较

\frac{a^{2} - b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

与

\frac{a - b}{a + b}

的大小．

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14. 已知

- 1 < x + y < 4, 2 < x - y < 3

，求

3 x + 2 y

的取值范围；

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15. 已知函数

f (x) = a x^{2} + b x

，且

1 ⩽ f (- 1) ⩽ 2, 2 ⩽ f (1) ⩽ 4

，求

f (- 2)

的取值范围；

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16. 已知

1 ⩽ \lg (x y) ⩽ 4, - 1 ⩽ \lg \frac{x}{y} ⩽ 2

，求

\lg \frac{x^{2}}{y}

的取值范围．

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