高等数学同步训练-微分与隐函数求导

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高等数学同步训练-微分与隐函数求导

一、解答题（共 8 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

y = f^{n} [φ (e^{\sqrt{x}})], f, φ

均可导，求

y^{'}

．

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2. 设

z = f (x, y), x = φ (y, z), f, φ

均可导，求

\frac{d z}{d y}

．

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3. 设

f (x)

连续，（1）

F (x) = \int_{0}^{x} f (x - y) d y

，求

F^{'} (x)

；
（2）

F (x) = \int_{0}^{x} t f (x - t) d t

，求

F^{'} (x), F^{''} (x)

．

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4. 设方程

\int_{0}^{x y} e^{- t^{2}} d t + \int_{0}^{y^{2}} \frac{\sin x}{x} d x = \ln y

，求

y^{'}

．

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5. 设

{\begin{cases} x = \cos (t^{2}) \\ y = \int_{0}^{t} u e^{u} \sin (u^{2}) d u \end{cases}

，求

\frac{d y}{d x}, \frac{d^{2} y}{d x^{2}}

．

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6. 求曲线

ρ = 2 a \sin 2 θ

在点

θ = \frac{π}{4}

处的切线方程．

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7. 设

y = x^{2^{x}} + x^{x} + f (\cos^{2} x), f

可导，求

y^{'}

．

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8. 设

φ (x) = {\begin{cases} x^{2} \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x = 0 \end{cases}, f (x)

在点

x = 0

处可导，令

F (x) = f [φ (x)]

，求

F^{'} (0)

．

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