高等数学同步训练-函数凸凹性与绘图

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高等数学同步训练-函数凸凹性与绘图

一、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 讨论方程

\ln x = a x

（其中

a > 0

）有几个实根．

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2. 写出

y = x e^{- x}

的凸凹区间

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3. 求

y = - x^{4} + 2 x^{2}

极值

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4. 试问

a

为何值时，函数

f (x) = a \sin x + \frac{1}{3} \sin 3 x

在

x = \frac{π}{3}

处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值．

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5. 已知制作一个背包的成本为 40 元，如果每一个背包的售出价格为

x

元，售出的背包数由

n = \frac{a}{x - 40} + b (80 - x)

给出，其中

a, b

为正常数．问什么样的售出价格能带来最大利润？

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6. 描绘

y = \frac{1}{5} (x^{4} - 6 x^{2} + 8 x + 7)

函数图

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7. 求椭圆

4 x^{2} + y^{2} = 4

在点

(0, 2)

处的曲率．

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8. 求

f (x) = x^{3} \ln x

在

x_{0} = 1, n = 4

得拉格朗日余项；

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9. 求

f (x) = \arctan x, x_{0} = 0, n = 3

，佩亚诺余项；

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