高等数学同步训练-不定积分的换元法

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一、解答题（共 12 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

f (x)

连续且

f (x) \neq 0, \int x f (x) d x = \arcsin x + C

，求

\int \frac{1}{f (x)} d x

．

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\int \frac{1}{1 + e^{x}} d x

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\int \frac{\sin (\ln x)}{x} d x

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\int \sin^{3} x \cos x d x

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\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}} (\arcsin x)^{3}} d x

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\int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x} (1 + x)} d x

;

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\int \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2} + \sqrt{{(1 + x^{2})}^{3}}}} d x

;

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\int \frac{\arctan \frac{1}{x}}{1 + x^{2}} d x

．

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\int \frac{x^{2} + 1}{x^{4} + 1} d x

;

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10.

\int \frac{1 - x^{6}}{x (1 + x^{6})} d x

;

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11.

\int \frac{\sqrt{a^{2} - x^{2}}}{x^{4}} d x

;

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12.

\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x

;

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