单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\Sigma$ 为柱面 $x^2+y^2=a^2(0 \leqslant z \leqslant 3)$, 其向外的单位法向量 $n ^{\circ}=\{\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma\}$, 则 $\iint_{\Sigma}(x \cos \alpha+y \cos \beta+z \cos \gamma) d S$ 等于
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma} z \cos \gamma d S$.
$\text{C.}$ $9 \pi a^2$.
$\text{D.}$ $6 \pi a^2$.
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
函数 $u=x^2+y^2+2 z^2$ 在点 $P(1,1, \sqrt{2})$ 处沿曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=4 \\ x^2+y^2=2 x\end{array}\right.$ 在该点处指向 $x$ 轴正向一侧切线方向的方向导数为 .
$\qquad$
曲面片 $\Sigma: z^2=x^2+y^2(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 的形心为
设抛物线 $y^2=2 p x$ 在与直线 $y=x$ 交点处的曲率半径 $R=5 \sqrt{5}$, 则此抛物线在该点处的切线方程是
已知曲线 $y=a x^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处相切, 则曲线 $y=a x^2$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的法线方程是 $\qquad$ .
设 $L$ 是单位圆周 $x^2+y^2=1, n$ 为 $L$ 的外法线向量, $u(x, y)=\frac{1}{12}\left(x^4+y^4\right)$, 则 $\oint_L \frac{\partial u}{\partial n } d s=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
在椭球面 $2 x^2+2 y^2+z^2=1$ 上求一点, 使函数 $f(x, y, z)=x^2+y^2+z^2$ 在该点沿方向 $l=(1$, $-1,0)$ 的方向导数最大, 并求出这个最大值.