李艳芳2025年考研数学辅导900题部分习题选-多元函数微分学(数一)

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李艳芳2025年考研数学辅导900题部分习题选-多元函数微分学(数一)

一、单选题（共 5 题），每题只有一个选项正确

1. 设二元函数

f (x, y)

在点

(x_{0}, y_{0})

处有定义，则下列说法中，正确的是

()

A.

若

lim_{x \to x_{0}} f (x, y_{0}), lim_{y \to y_{0}} f (x_{0}, y)

均存在，则

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y)

存在．

B.

若

lim_{x \to x_{0}} f (x, y_{0}), lim_{y \to y_{0}} f (x_{0}, y)

均存在，则

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

均存在．

C.

若

lim_{(x, y) \to (x_{0}, y_{0})} f (x, y)

存在，则

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

均存在．

D.

若

f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}), f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0})

均存在，则

lim_{x \to x_{0}} f (x, y_{0}), lim_{y \to y_{0}} f (x_{0}, y)

均存在．

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2. 设

f_{1} (x, y) = {\begin{cases} \frac{y^{2} - x y}{\sqrt{x} - \sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x = y, \end{cases} f_{2} (x, y) = {\begin{cases} \frac{x^{2} y}{x^{4} + y^{2}}, & (x, y) \neq (0, 0), \\ 0, & (x, y) = (0, 0), \end{cases}

则

A.

f_{1} (x, y), f_{2} (x, y)

在点

(0, 0)

处均连续．

B.

f_{1} (x, y), f_{2} (x, y)

在点

(0, 0)

处均不连续．

C.

f_{1} (x, y)

在点

(0, 0)

处连续，

f_{2} (x, y)

在点

(0, 0)

处不连续．

D.

f_{1} (x, y)

在点

(0, 0)

处不连续，

f_{2} (x, y)

在点

(0, 0)

处连续．

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3. 设有三元方程

x \arctan x + \frac{\ln x}{\ln y} + z e^{\sin z} = \frac{π}{4}

，根据隐函数存在定理，存在点

(1, e, 0)

的一个邻域，在此邻域内该方程（）

A.

只能确定一个具有连续偏导数的隐函数

z = z (x, y)

．

B.

可确定两个具有连续偏导数的隐函数

y = y (x, z)

和

z = z (x, y)

．

C.

可确定两个具有连续偏导数的隐函数

x = x (y, z)

和

z = z (x, y)

．

D.

可确定两个具有连续偏导数的隐函数

x = x (y, z)

和

y = y (x, z)

．

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4. 设函数

f (x)

具有二阶连续导数，且

f (x) > 0, f^{'} (0) = 0

，则函数

z (x, y) = f (x)^{f (y)}

在点

(0, 0)

处取得极小值的一个充分条件是（）
．

A.

f (0) < 1, f^{''} (0) < 0

．

B.

f (0) > 1, f^{''} (0) < 0

．

C.

f (0) < 1, f^{''} (0) > 0

D.

f (0) > 1, f^{''} (0) > 0

．

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5. 设正值函数

f (x, y, z)

与

g (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处的各个偏导数均存在且连续，

f (0, 0, 0) =

g (0, 0, 0) = 1, f (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处沿方向

n

的方向导数

{\frac{\partial f}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} = 1, g (x, y, z)

在点

(0, 0, 0)

处沿方向

n

的方向导数

{\frac{\partial g}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} = 2

，则

{\frac{\partial (\frac{1}{f} + \frac{1}{g})}{\partial n} |}_{(0, 0, 0)} =

A.

1 ．

B.

3 ．

C.

-1 ．

D.

-3 ．

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二、填空题（共 3 题），请把答案直接填写在答题纸上

6. 设函数

F (x, y) = \int_{0}^{x + y} \frac{\cos t}{1 + t} d t

，则

{\frac{\partial^{2} F}{\partial x^{2}} |}_{\begin{matrix} x = - 1 \\ y = 1 \end{matrix}} =

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7. 设曲面方程为

z = w (x) e^{\sin (x y)}

，其中

w = w (x) (w > 0)

由方程

x^{2} + w^{2} + e^{x w} = 5

确定，则曲面在点

(0, 1, z (0, 1))

处的切平面方程为

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8. 设函数

f (x, y)

具有一阶连续偏导数，且

d [f (x, y)] = [\cos (x - y) - \sin (x - y)] e^{y - x} (d x

- d y), f (0, 0) = 0

，则

f (x, y) =

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三、解答题（共 2 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

9. 设函数

f (u, v)

具有二阶连续偏导数，函数

g (x, y) = x^{2} + y^{2} - f (x + y, x y)

．求

\frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}} - 2 \frac{\partial^{2} g}{\partial x \partial y}

+ \frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}

．

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10. 求函数

f (x, y) = (3 x^{3} - y) e^{x - y}

的极值．

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