填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
下列函数是否连续
$ f(z)=\frac{z^2-(\alpha+\beta) z+\alpha \beta}{z-\alpha}, f(\alpha)=\alpha-\beta$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试确定 $\frac{z+2}{z-1}$ 的实部和虚部．
设 $\alpha=a+\mathrm{i} b, \beta=c+\mathrm{i} d$ 为两个复数，试证明：
（1）$|\alpha|=0 \Leftrightarrow \alpha=0$ ；
（2）$|\alpha \beta|=|\alpha||\beta|$ ；
（3）$\left|\frac{\beta}{\alpha}\right|=\frac{|\beta|}{|\alpha|} \quad(\alpha \neq 0)$ ；
（4）$|\alpha|-|\beta| \leqslant|\alpha+\beta| \leqslant|\alpha|+|\beta|$ ．
关系式（4）也称为三角不等式．
若 $z_0$ 是 $z^n+a_1 z^{n-1}+a_2 z^{n-2}+\cdots+a_n$ 的零点，试证明 $\left|z_0\right|$ 不大于 $z^n-\left|a_1\right| z^{n-1}-\left|a_2\right| z^{n-2}-\cdots-\left|a_n\right|$ 的正零点．
下列各式表示复平面上的哪些集合？并作图．
（1）$|z-\alpha| \leqslant r$ ．
（2）$|z-\alpha|+|z+\bar{\alpha}| \leqslant|\alpha-\bar{\alpha}|$ ，这里
$$
|\alpha-\bar{\alpha}|>|\alpha+\bar{\alpha}|>0
$$
下列各式表示复平面上的哪些集合？并作图．
（3） $\operatorname{Re} z^2 \leqslant 1$ ．
（4）$|\arg z| < \frac{\pi}{3}$ ．
指出不等式 $0 < \arg \frac{z-\mathrm{i}}{z+\mathrm{i}} < \frac{\pi}{4}$ 中点 $z$ 的轨迹所在范围，并作图．
下列极限是否存在？若存在试确定其极限值
$ \lim _{z \rightarrow \alpha} \frac{z^2-(\alpha+\beta) z+\alpha \beta}{z-\alpha} $