证明题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{f_k\right\}$ 为 $[a, b]$ 上的有界变差函数列，且有
$$
\begin{gathered}
\bigvee_a^b\left(f_k\right) \leqslant M, \quad k=1,2, \cdots, \\
\lim _{k \rightarrow+\infty} f_k(x)=f(x), \quad \forall x \in[a, b] .
\end{gathered}
$$
证明：$f \in \mathrm{BV}([a, b])$ ，且 $\bigvee_a^b(f) \leqslant M$ ．
设 $f \in \operatorname{BV}([a, b]), f_n \in \operatorname{BV}([a, b]), n=1,2, \cdots$ ，且有
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \bigvee_a^b\left(f-f_n\right)=0
$$
证明：存在 $\left\{f_n\right\}$ 的子列 $\left\{f_{n_i}\right\}$ ，s．t．在 $[a, b]$ 上有
$$
\lim _{i \rightarrow+\infty} f_{n_i}^{\prime}(x) \doteq f_m^{\doteq} f^{\prime}(x)
$$
设 $E$ 为 $\mathrm{R}^1$ 中一族（开、闭、半开闭）区间的并集．证明：$E$ 为 Lebesgue 可测集．
设 $a < c < b, f:[a, b] \rightarrow \mathbb{R}$ 为有界变差函数．证明：
（1）$\left.\bigvee_a^b+f\right)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)$ ．
（2）$\bigvee_a^b-(f)=\bigvee_a^c(f)+\bigvee_c^b(f)$ ．