填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为 $P(X=k)=C \cdot \frac{\lambda^k}{k !}, \lambda>0, k=1,2, \mathrm{~L}$, 则常数 $C$ 为
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(2,5)$, 随机变量 $Y$ 服从正态分布 $N(1,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 则概率 $P(X \leqslant Y+4)=$
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立且都服从均匀分布 $U(0, \theta)$, 则 $E[\min (X, Y)]=$
设总体 $X$ 服从期望为 2 的指数分布, $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则统计量 $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 的数学期望为
设 $X_1, X_2, \mathrm{~L}, X_n$ 为取自总体 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本, 其中 $\mu \in R, \sigma>0$ 均末知, $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$,
$S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$ 分别表示样本均值和样本方差, 则对于给定的常数 $\alpha(0 < \alpha < 1)$, 区间 $\left[\bar{X}-\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha / 2}(n-1), \bar{X}+\frac{S}{\sqrt{n}} t_{\alpha / 2}(n-1)\right]$ 包含 $\mu$ 的概率是
在数字通讯中, 信号由 0 和 1 组成, 因为有随机干扰, 收到信号时, 0 被误收作 1 的概率为 0.2 , 而 1 被误收作 0 的概率为 0.1 , 假定发送信号 0 与 1 的几率均等.
1. 求发送的是信号 0 且收到的也是信号 0 的概率;
2. 求收到的是信号 0 的概率;
3. 已知收到的是信号 0 , 求发出的是信号 0 的概率.
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
1. 叙述 “事件 $A$ 概率为零” 与 “事件 $A$ 为不可能事件” 的关系, 并给出例子支持你的结论.
2. 设连续型随机变量 $X$ 的概率密度函数为
$$
f_X(x)= \begin{cases}\theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text { 其他 }\end{cases}
$$
其中常数 $\theta>0$, 令 $Y=-2 \theta \ln X$. 求 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y)$.
设二维连续型随机变皇 $(X, Y)$ 的概率密度函数为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
C e^{-2 x}, & x>0,0 < y < x, \\
0, & \text { 其它. }
\end{array}\right.
$$
1. 确定常数 $C$ 的值;
2. 求 $X$ 与 $Y$ 边缘概率密度函数 $f_X(x)$ 和 $f_Y(y)$, 并判断 $X$ 与 $Y$ 是否独立;
3. 求 $Z=X+Y$ 的概率密度函数 $\mathrm{f}_{\mathrm{Z}}(z)$;
4. 求概率 $P(X \leq Y+2)$.
1. 叙述两个随机变共 $X$ 和 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$ 的含义.
2. 设 $G$ 是由 $x$轴、 $y$ 轴及直线 $2 x+y-2=0$ 所围成的区域, 二维随机变旦 $(X, Y)$ 在 $G$ 内服从均匀 分布. 求 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}$.
已知随机变量 $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ 独立同分布且均服从 $U(0,1)$, 令 $Y=X_1 \cdot X_2 \ldots X_{100}$, 求 $Y < e e^{-80}$ 的概 京的近似值.
设总体 $X$ 服从参数为 $p$ 的几何分布，其中 $0 < p < 1$ 为末知参数, $X_1, X_2, \mathrm{~K}, X_n$ 为取自该总体的 样本, $x_1, x_2, \mathrm{~L}, x_n$ 为相应的样本观测值.
1. 求参数 $p$ 的矩估计: 2 . 求 $p$ 的最大似然估计.
1. 在假设检验问题中
（1）若检验结果是接受原假设, 则检验可能犯哪一类错误?
（2）若检验结甲是拒绝原假设，则检验又有可能犯哪一类错误?
2. 某厂生产的汽车电池便用寿命服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 其说明书上写明其标准差不超过 0.9 年。现随机抽取 10 个, 得样本均值为 4 年, 样本标准差为 1.2 年。试在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下, 检验厂方说明书上所写的标准差是否可信.