《高等数学解题指南》-数列极限

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《高等数学解题指南》-数列极限

一、解答题（共 13 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求

lim_{n \to \infty} {(\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b}}{2})}^{n}, a, b > 0

．

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2. 求

lim_{n \to \infty} n (\sqrt[n]{n} - 1)

．

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3. 设

x_{1} = 1, x_{n} = 1 + \frac{x_{n - 1}}{x_{n - 1} + 1}

，求

lim_{n \to \infty} x_{n}

．

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4. 设

s_{n} = 1 + 2 x + 3 x^{2} + \dots + n x^{n - 1}

，当

| x | < 1

时，求

lim_{n \to \infty} s_{n}

．

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5. 求

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n!} \sin \frac{1}{n}

．

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lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 2} + \dots + \frac{1}{n + n})

;

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lim_{n \to \infty} \frac{1^{p} + 2^{p} + \dots + n^{p}}{n^{p + 1}}, (p ⩾ 1)

;

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lim_{n \to \infty} (\frac{1}{\sqrt{n^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^{2} + n}})

;

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lim_{n \to \infty} (\frac{3^{\frac{1}{n}}}{n + 1} + \frac{3^{\frac{2}{n}}}{n + \frac{1}{2}} + \dots + \frac{3^{\frac{n}{n}}}{n + \frac{1}{n}})

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10. 计算

lim_{n \to \infty} (\frac{n + 1}{n^{2} + 1} + \frac{n + 2}{n^{2} + 4} + \frac{n + 3}{n^{2} + 9} + \dots + \frac{n + n}{n^{2} + n^{2}})

．

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11. 计算

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} \frac{i j}{n^{4}}

．

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12. 求

lim_{n \to \infty} (1 - \frac{1}{2^{2}}) (1 - \frac{1}{3^{2}}) \dots (1 - \frac{1}{n^{2}})

;

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13.

lim_{n \to \infty} \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \dots (2 n - 1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \dots (2 n)}

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