【31864】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 证明题 设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，$I$ 为 $n$ 阶单位矩阵，计算 $$ \left(\begin{array}{cc} I & I \\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & B \\ B & A \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & -I \\ O & I \end{array}\right) $$ 并由此证明 $\left|\begin{array}{ll}A & B \\ B & A\end{array}\right|=|A+B| \cdot|A-B|$

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【31863】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 解答题 已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\ 2 & 3\end{array}\right),(1)$ 求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值和特征向量；（2）计算 $f(\boldsymbol{A})=\boldsymbol{A}^{n+1}-5 \boldsymbol{A}^*$ 。

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【31862】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 解答题 设 $\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2\right)=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & 1 & 4 \\ 4 & 3 & 10 & 10 \\ 5 & 6 & 11 & 14\end{array}\right)$ ，问 （1）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 可否由向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示？若可以，写出线性表示式； （2）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2$ 与向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 是否等价？

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【31861】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 解答题 确定 $a$ 的值使线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 x_1-x_2+x_3+x_4=1 \\ x_1+2 x_2-x_3+4 x_4=2 \\ x_1+7 x_2-4 x_3+11 x_4=a\end{array}\right.$ 有解，并求其解．

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【31860】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 解答题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为 3 维列向量，矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}\right), \boldsymbol{B}=\left(2 \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}\right)$ ，且已知行列式 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}=1, \operatorname{det} \boldsymbol{B}=-2$ ，计算 $\operatorname{det}(2 \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B})$ ．

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【31859】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 解答题 计算行列式 $D=\left|\begin{array}{rrrrr}a & 0 & 0 & 0 & 1 \\ -a & b & 0 & 0 & 1 \\ -a & -b & c & 0 & 1 \\ -a & -b & -c & d & 1 \\ -a & -b & -c & -d & 1\end{array}\right|$ ．

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【31858】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 解答题 判断矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 2\end{array}\right)$ 可逆，并求其逆矩阵 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ．

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【31857】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 单选题 设向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r$ 可由向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 线性表示，则

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【31856】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 单选题 设 3 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $R(\boldsymbol{A})=2$ ，则 $R\left(\boldsymbol{A}^*\right)=$ ．

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【31855】 【 广州大学第一学期《线性代数》期末考试】 单选题 设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的第二列乘以 2 为矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}$ 的 \hx 为 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ ．

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