【33276】 【 张宇《考研数学命题人终极预测》2026版数二第一套】 单选题 当 $x \rightarrow 0$ 时，以下无穷小量阶数最高的是

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【33275】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 解答题 已知总体 $X$ 的分布函数为 $$ F(x ; \theta)= \begin{cases}1-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{20}}, & x>0 \\ 0, & x \leqslant 0\end{cases} $$ 其中 $\theta>0$ 为末知参数，设 $X_1, \cdots, X_n$ 为总体 $X$ 的简单随机样本． （1）求 $X$ 的概率密度； （2）求 $\theta$ 的最大似然估计量 $\hat{\theta}$ ； （3）求 $E(\hat{\theta})$ 。

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【33274】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 解答题 设 2 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的互异特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 分别为属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的单位特征向量． （1）求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ 的特征值； （2）求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}\right) \boldsymbol{P}$ 为对角矩阵； （3）若 $\lambda_1=1, \lambda_2=2$ ，求矩阵 $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{\alpha}_1 \boldsymbol{\alpha}_1^{\mathrm{T}}$ ．

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【33273】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 解答题 计算 $I=\iint_D\left|y-x^2\right| \max \{x, y\} \mathrm{d} \sigma$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．

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【33272】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 解答题 求 $f(x, y)=x+x y-x^2-y^2$ 在闭区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2\}$ 上的最大值和最小值．

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【33271】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 解答题 设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，当 $0 \leqslant x<1$ 时，恒有 $0<f(1)<f(x)$ ，且 $f^{\prime}(x) \neq f(x)$ ．证明：在 $(0,1)$ 内存在唯一的点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=\int_0^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．

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【33270】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 解答题 计算不定积分 $\int \frac{\mathrm{d} x}{\left(x^2+1\right)\left(x^2+x\right)}$ ．

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【33269】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 填空题 设 $A, B, C$ 为三个随机事件，已知 $P(A)=P(B)=P(C)=\frac{1}{4}, P(A B)=P(B C)=0$ ， $P(A C)=\frac{1}{8}$ ，则 $A, B, C$ 全不发生的概率为 $\_\_\_\_$ ．

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【33268】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 填空题 设 4 维非零列向量 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 与列向量 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 分别正交，若 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关，则向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3, \boldsymbol{\beta}_4$ 的秩为 $\_\_\_\_$ ．

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【33267】 【 张天德2026考研数学模拟卷(数学三)第一套】 填空题 计算不定积分 $\int \frac{\tan x}{a^2 \sin ^2 x+b^2 \cos ^2 x} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ （其中 $a b \neq 0$ ）。

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