【37437】 【 等比数列的证明】 证明题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，已知 $S_n, 2 n$ 的等差中项为 $a_n$ ． （1）求证 $\left\{a_n+2\right\}$ 为等比数列； （2）数列 $\left\{\frac{1}{a_n+3}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，是否存在整数 $k$ 满足 $T_n \in(k, k+1)$ ？若存在求 $k$ ，否则说明理由．

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【37436】 【 等比数列的证明】 解答题 记 $S_n$ 为数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和，$\lambda a_n=S_n+n, \lambda=2 a_1$ ． （1）证明：数列 $\left\{a_n+1\right\}$ 为等比数列； （2）若 $\lambda>0$ ，求数列 $\left\{n a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和．

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【37435】 【 等比数列的证明】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，且 $a_n>0, a_1=1, a_2=4, a_n S_n+4 a_{n-1} S_{n-2}=a_n S_{n-2}+4 a_{n-1} S_n(n>2)$ ． （1）证明：数列 $\left\{a_n\right\}$ 为等比数列； （2）设 $b_n=\sqrt[n]{a_1 a_2 a_3 \cdots a_n}$ ，求数列 $\left\{n b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37434】 【 等比数列的证明】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=\frac{4}{5}, a_{n+1}=\frac{4 a_n}{3 a_n+1}, n \in \mathbf{N}^*$ ． （1）设 $b_n=\frac{a_n}{1-a_n}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的通项公式； （2）在 $b_k$ 与 $b_{k+1}$（其中 $k \in \mathbf{N}^*$ ）之间插入 $2^k$ 个 3 ，使它们和原数列的项构成一个新的数列 $\left\{c_n\right\}$ ．记 $S_n$ 为数列 $\left\{c_n\right\}$的前 $n$ 项和，求 $S_{36}$ ．

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【37433】 【 等比数列的证明】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的首项 $a_1=1$ ，且满足 $a_{n+1}+a_n=3 \times 2^n$ ． （1）求证：$\left\{a_n-2^n\right\}$ 是等比数列； （2）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前项和 $S_n$ ．

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【37432】 【 等比数列前n项和的求解与前n项和的性质】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，满足 $S_n=\frac{3}{2} a_n-1$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项公式； （2）记 $b_n=\frac{a_n}{S_n \cdot S_{n+1}}$ ，求数列 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$ ．

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【37431】 【 等比数列前n项和的求解与前n项和的性质】 解答题 设数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ．已知 $S_2=4, a_{n+1}=2 S_n+1, n \in \mathrm{~N}^*$ ． （I）求通项公式 $a_n$ ； （II）求数列 $\left\{\left|a_n-n-2\right|\right\}$ 的前 $n$ 项和．

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【37430】 【 等比数列前n项和的求解与前n项和的性质】 解答题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n, a_1=-\frac{9}{4}$ ，且 $4 S_{n+1}=3 S_n-9$ ． （1）求数列 $\left\{a_n\right\}$ 的通项； （2）设数列 $\left\{b_n\right\}$ 满足 $3 b_n+(n-4) a_n=0\left(n \in N^*\right)$ ，记 $\left\{b_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_n$ ，若 $T_n \leq \lambda b_n$ 对任意 $n \in \mathrm{~N}^*$ 恒成立，求实数 $\lambda$ 的取值范围．

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【37429】 【 等比数列前n项和的求解与前n项和的性质】 多选题 已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和是 $S_n$ ，则下列说法正确的是

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【37428】 【 等比数列前n项和的求解与前n项和的性质】 单选题 已知等比数列 $\left\{a_n\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$ ，若 $\frac{S_4}{S_8}=\frac{1}{7}$ ，则 $\frac{S_{12}}{S_4}=$

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