单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A$ 为 3 阶矩阵，且 $| A |>0, A ^* \sim\left(\begin{array}{ccc}-2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，则 $r( E + A )+r( E - A )= $ ．
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 5
已知 3 阶矩阵 $A , B$ 满足 $A B + A - B = E$ ，其中 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & a\end{array}\right)$ ，且 $B \neq- E$ ，若齐次线性方程组 $( A + B ) x = 0$ 有唯一解，则常数 $a=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{11}{3}$
$\text{B.}$ 3
$\text{C.}$ -3
$\text{D.}$ 2
设 3 阶矩阵 $A$ 可逆，把矩阵 $A$ 的第 2 行与第 3 行交换得到矩阵 $B$ ，把矩阵 $B$ 的第 1 列的 -3 倍加到第 2 列得到单位矩阵 $E$ ，则 $A ^{-1}=()$ ．
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是三个 $n$ 阶方阵， $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}, \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B C}=\boldsymbol{E}_n$ ．则有
$\text{A.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})=n$ ．
$\text{B.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B})>n$ ．
$\text{C.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) \leqslant 2 n$ ．
$\text{D.}$ $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{B}) < n$ ．
设 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,1,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(1,0,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(0,1,1)^{\mathrm{T}}$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1=(1,-2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-1,-2,1)^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{\beta}_3=(1,-1,2)^{\mathrm{T}}$ 是三维向量空间 $R^3$ 的两组基，向量 $\boldsymbol{\gamma}$ 在这两组基下有相同坐标，则 $\boldsymbol{\gamma}$ 为（）．
$\text{A.}$ $(3,0,-1)^{\mathrm{T}}$
$\text{B.}$ $(1,0,-3)^{\mathrm{T}}$
$\text{C.}$ $(1,-3,0)^{\mathrm{T}}$
$\text{D.}$ $(3,-1,0)^{\mathrm{T}}$
设 $A, B$ 为 $n$ 阶方阵，若线性方程组 $A x=0$ 的解都是 $B x=0$ 的解，则下列线性方程组中与 $A x=0$ 必同解的个数为
（1）$(A+B) x=0$ ；
（2）$A B x=0$ ；
（3）$B A x=0$ ；
（4）$\binom{A-B}{A+B} x=0$ ；
（5）$\binom{A}{B} x=0$ ．
$\text{A.}$ 1 ．
$\text{B.}$ 2.
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 4 ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A , B$ 是 $n$ 阶方阵，则 $| A |=2,| B |=-4$ ，则 $\left|2 B ^* A ^{-1}\right|=$ $\qquad$ ．
已知 $A =\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 1 \\ x & 1 & y \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似于对角矩阵，则 $x, y$ 应满足 $\qquad$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶矩阵 $(n>1)$ ，满足 $\boldsymbol{A}^k=2 \boldsymbol{E}, k>2, \boldsymbol{E}$ 是 $n$ 阶单位阵， $\boldsymbol{A}^*$是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵，则 $\left(\boldsymbol{A}^*\right)^k=$ $\qquad$ ．
已知二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}=a x_1^2+b x_2^2+a x_3^2+2 c x_1 x_3$ ，当 $a, b, c$ 满足
$\qquad$时， $\boldsymbol{Q}$ 为正定矩阵．
设 $\boldsymbol{A}$ 为三阶矩阵， $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 为三维列向量．已知 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\alpha}=2 \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}=2 \boldsymbol{\alpha}$ ．记 $f(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}|$ ，若 $f(0)=12$ ，则 $f(5)=$
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right), \boldsymbol{A}^{-1}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的逆矩阵，则满足 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{E})+\boldsymbol{E}$ 的方阵 $\boldsymbol{B}=$ $\_\_\_\_$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设向量组
$$
\alpha_1=(1,2,1)^T, \alpha_2=(1,3,2)^T, \alpha_3=(1, a, 3)^T
$$
为 $R^3$ 的一组基，
$\beta=(1,1,1)^T$ 在这个基下的坐标为 $(b, c, 1)$.
(1) 求 $a, b, c$ 的值;
(2) 证明 $\alpha_2, \alpha_3, \beta$ 为 $R^3$ 的一组基，并求 $\alpha_2, \alpha_3, \beta$ 到 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵。
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi_1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 求满足 $A \xi_2=2 \xi_1, A ^2 \xi_3=6 \xi_1$ 的所有向量 $\xi_2, \xi_3$.
非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{aligned}
-2 x_1+x_2+x_3 & =-2, \\
x_1-2 x_2+x_3 & =\lambda, \\
x_1+x_2-2 x_3 & =\lambda^2
\end{aligned}\right.
$$
当 $\lambda$ 取何值时有解? 并求出它的通解。
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=\left(x_1-2 x_2\right)^2+\left(x_2-x_3\right)^2+\left(x_1+a x_3\right)^2$ ．
（1）求 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=0$ 的解；
（2）设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的规范形为 $z_1^2+z_2^2$ ，求正交变换 $x=Q y$ ，使得二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 化为标准形。
计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
2 & 2 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
3 & 3 & 3 & \cdots & n-1 & n \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
n-1 & n-1 & n-1 & \cdots & n-1 & n \\
n & n & n & \cdots & n & n
\end{array}\right| .$
设矩阵 $\boldsymbol{A}_{3 \times 3}$ 有三个不同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ ，它们对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ ．令 $\beta=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ ，
（1）证明：$\beta, A \beta, A^2 \beta$ 线性无关；
（2）若 $A^3 \beta=A \beta$ ，求 $r(A-E)$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ a & 0 & 3\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}1 & b & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 相似，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}+(b,-b, 2 b)^{\mathrm{T}}$ 的一个解为 $(0,-1,1)^{\mathrm{T}}$ ，求
（1）$a, b$ 的值；
（2） $\boldsymbol{A}^{100}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求证：（1）如果 $A^k=0$ ．那么 $E-A$ 可逆，并且
$(E-A)^{-1}=E+A+A^2+\cdots+A^{k-1}$
（2）应用以上结论求 $\left[\begin{array}{llll}1 & a & 0 & 0 \\ 0 & 1 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]^{-1}$