单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某个领域内连续, 且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$, 则在点 $x=0$ 处
$\text{A.}$ 不可导
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0)=0$
$\text{C.}$ 取得极大值
$\text{D.}$ 取得极小值
设对任意的 $x$ ，总有 $\varphi(x) \leq f(x) \leq g(x)$ ， 且 $\lim _{x \rightarrow \infty}[g(x)-\varphi(x)]=0$ ，则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$
$\text{A.}$ 存在且等于零
$\text{B.}$ 存在但不一定为零
$\text{C.}$ 一定不存在
$\text{D.}$ 不一定存在
以下四个命题中，正确的是
$\text{A.}$ 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(0,1)$ 内有界
曲线 $y=(x-1)(x-2)^2(x-3)^3(x-4)^4$ 的拐点是
$\text{A.}$ $(1,0)$
$\text{B.}$ $(2,0)$
$\text{C.}$ $(3,0)$
$\text{D.}$ $(4,0)$
设函数 $f(x)=\arctan x$ ，若 $f(x)=x f^{\prime}(\xi)$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\xi^2}{x^2}=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零. 若当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小, 则当 $x \rightarrow 0$ 时, ( )
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left(e^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\varphi(x), & x \geqslant 0, \\ \phi(x), & x < 0,\end{array}\right.$ 极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-\varphi(0)}{x}=A$（常数），其中可导函数 $\varphi(x)$, $\phi(x)$ 满足 $\varphi^{\prime}(0) \leqslant 0, \phi^{\prime}(0) \geqslant 0$ ，下列说法
（1）$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续；（2）$A=0$ ；（3） $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=0$ ；（4）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极小值点．正确的个数为（）．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{x_n}{2 n-1}\right)^{n^2 \sin \frac{1}{n}}=A>0$ ，且极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n-k n\right)=B$（ $k$ 为常数）存在，则 $B=(\quad)$ ．
$\text{A.}$ $2 \ln A+1$
$\text{B.}$ $2 \ln A-1$
$\text{C.}$ $-A$
$\text{D.}$ $2 \ln A$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t+\ln t, \\ y=\frac{t-t^3}{\sin \pi t}\end{array}\right.$ 确定，则 $f(x)$ 有 $(\quad)$ 个可去间断点．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 无穷多
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $y=(1+\sin x)^x$, 则 $\left.d y\right|_{x=\pi}=$
设 $x>0$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} e ^{n(\sqrt[n]{x}-1)}=$
解答题 （共 10 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $y=\frac{2 x^2}{(1-x)^2}$ ，试求其单调区间，极值点，图形的凹凸性，拐点和渐近线，并画出函数图形.
设 $y=\left(3 x^2-2\right) \sin 2 x$, 求 $y^{(100)}$ 。
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \cos ^x \frac{\pi}{\sqrt{x}}$.
已知 $f(x)$ 是定义在 $[a,+\infty)$ 上具有任意阶导数的函数，且 $f(a)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，证明：对于任意正整数 $k$ ，存在 $x_k \in[a,+\infty)$ ，使得 $f^{(k)}\left(x_k\right)=0$ ．
设一元函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b](a < b)$ 上二阶可导，满足：
$$
f(a)=f(b)=f^{\prime}(a)=f^{\prime}(b)=0
$$
且当 $x \in[a, b]$ 时，$\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq M$（ $M$ 为一个正数），证明：
$$
|f(x)| \leq \frac{M}{16}(b-a)^2, x \in[a, b]
$$
试证方程 $x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}=1$ 对任何不小于 2 的正整数 $n$ ，在 $(0,1)$ 内都有唯一实根 $x_n$ 及 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求此极限．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（1）存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=2$ ；
（2）存在 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\xi)=f(\eta) f^{\prime}(\eta)$ ．
$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{4 x^2+x-1}+x+1}{\sqrt{x^2+\sin x}}$
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，请证明以下结论：
（1）当 $f\left(x_0\right)>0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
（2）当 $f\left(x_0\right) < 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=-f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．
（3）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，但 $f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处不可导．
（4）当 $f\left(x_0\right)=0$ 时，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 时，$y=|f(x)|$ 在点 $x_0$ 处可导，且 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}=0$ ．
设函数 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$
（1）证明：当 $x \in(0,1)$ 时，$|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}$
（2）证明：
$$
\left|\int_0^1 f(x) d x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}
$$