单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则（）
$\text{A.}$ $a=1, b=1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
下列结论正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=- e$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e ^{-1}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1- e ^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则在点 $x=0$ 处 $f(x)$ ．
$\text{A.}$ 极限存在但不连续
$\text{B.}$ 仅左连续
$\text{C.}$ 仅右连续
$\text{D.}$ 连续
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小 $\alpha=\int_0^{\sin x} \cos t^2 d t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} d t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 d t$ 进行排列，使后者是前者的高阶无穷小．正确的排列是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义． $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，令 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ，则（D）．
$\text{A.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的连续点
$\text{B.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 I 类间断点
$\text{C.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 II 类间断点
$\text{D.}$ $g(x)$ 的连续性与 $a$ 有关
设数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导，则（ ）．
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时， $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1-a x^2\right)^{\frac{1}{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0}(1-2 x)^{\frac{3}{\sin x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+b x^2, x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{\sqrt{n^2+2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2+4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n^2+2 n}}\right]=$
解答题 （共 4 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且有 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}= e ^{\frac{1}{x}}$ ，求 $f(x)$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |x| < 1, \\ 0, & |x|=1, g(x)= e ^x, \\ -1, & |x|>1,\end{array}\right.$ 求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作出这两个函数的图形．
证明 $x=\sin x+2$ 至少有一个不超过 3 的实根．
设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内只有可去间断点，定义 $g(x)=\lim _{y \rightarrow x} f(y), \forall x \in(a, b)$ ，证明 $g(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续