单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
直线 $x+2 y+1=0$ 被圆 $(x-2)^2+(y-1)^2=25$ 所截得的弦长等于（ ）
$\text{A.}$ $2 \sqrt{5}$
$\text{B.}$ $3 \sqrt{5}$
$\text{C.}$ $4 \sqrt{5}$
$\text{D.}$ $5 \sqrt{5}$
若过点 $(a, b)$ 可作曲线 $y=x^2-2 x$ 的两条切线，则点 $(a, b)$ 可以是（）
$\text{A.}$ $(0,0)$
$\text{B.}$ $(1,1)$
$\text{C.}$ $(2,0)$
$\text{D.}$ $(3,2)$
已知 $x=1$ 是函数 $f(x)=\ln x-\frac{a}{x}+x$ 的极值点，则 $a=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin a x, & x \leq 0, \\ \ln (1+x)+b, & x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处可导, 则 $a=$,$b=$
若直线 $y=2 x+5$ 是曲线 $y= e ^x+x+a$ 的切线，则 $a=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{x}{x-1}-\frac{1}{\ln x}\right)=$
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}}$ ，则 $f(x)$ 的定义域为
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^x- e ^{-x}-2 x}{x-\sin x}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_n=\frac{1!+2!+\cdots+n!}{n!}, n \in N _{+}$，求 $\left\{a_n\right\}$ 的极限，
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2+f(x)}{x^2 \sin ^2 x}=1$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x+f(x)}{x^2 \sin ^2 x}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\sqrt{x^2-x+1}-a x-b\right)=0$ ，确定 $a, b$ 的值．
设 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+1}{x+1}+a x+b\right)=0$ ，试确定 $a, b$ 的值．
证明 $\lim _{x \rightarrow-\infty} \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)=0$ ．
已知极限 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ 存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 是否存在？若存在，为多少？