单选题 （共 9 题 ），每题只有一个选项正确
由曲线 $y=e^x$ 与直线 $x=1 、 y=1$ 所围成的图形的面积为
$\text{A.}$ $\int_0^1\left(e^x-1\right) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1\left(1-e^x\right) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 e^x d x$
$\text{D.}$ $\int_0^1\left(e^x+1\right) d x$
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_0^1 f(t) d t$, 则 $f(x)= $
$\text{A.}$ $\frac{x^2}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{x^2}{2}+2$
$\text{C.}$ $x-1$
$\text{D.}$ $x+2$.
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x \sin x}=-2$,则在 $x=0$ 处 $f(x) $
$\text{A.}$ 不可导.
$\text{B.}$ 可导, 且 $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ 取极大值.
$\text{D.}$ 取极小值.
若函数 $f(x)$ 在点 $x=x_0$ 处取得极大值，则下列说法正确的是
$\text{A.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 且 $f^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0$
$\text{D.}$ $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ 或 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 不存在
已知 $f(x)$ 的导数是 $\sin x$, 则 $f(x)$ 的原函数是 ( )。
$\text{A.}$ $1+\sin x$
$\text{B.}$ $1-\sin x$
$\text{C.}$ $1+\cos x$
$\text{D.}$ $1-\cos x$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
$\forall x$, 有 $f(-x)=-f(x)$, 且 $f^{\prime}\left(-x_0\right)=-k \neq 0$, 则 $f^{\prime}\left(x_0\right)=(\quad) 。$
$\text{A.}$ $1 / k$
$\text{B.}$ $-1 / k$
$\text{C.}$ $-k$
$\text{D.}$ $k$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设方程 $x^3+y^3-3 x+6 y=2$, 则 $\left.\frac{d^2 x}{d y^2}\right|_{x=2}=$
点 $A(2,1,-1)$ 关于平面 $x-y+2 z=5$ 的对称点坐标为 $\qquad$。
广义积分 $\int_1^{+\infty} \frac{1}{x^3} d x=$
$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x-\cos x}{1+\sin ^2 x} d x=$
设 $f(x, y, z)=\ln (x+y z)$, 则 $f_z(2,1,1)=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
设 $z=\ln \left(x y+\frac{x}{y}\right)$, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1+x+x^2-3}{1-x^3}$
证明函数 $y=f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，但在点 $x=0$ 处不可导
证明当 $x>1$ 时， $2 \sqrt{x}>3-\frac{1}{x}$
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan ^2 \theta d \theta$ ．
解方程 $x d y+2 y d x=0,\left.y\right|_{x=2}=1$ ．