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2025-01-27

数学三（1）

本试卷总分150分,考试时间150分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 11 题），每题只有一个选项正确

1. 设

f (x) = \frac{1 + e^{- x^{2}}}{1 - e^{- x^{2}}}

, 则曲线

f (x)

().

A.

仅有水平渐近线

B.

仅有铅直渐近线

C.

既有水平渐近线又有铅直渐近线

D.

没有渐近线

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2. 若函数

f (x) = {\begin{array}{cc} x^{2}, & x \leq 1 \\ a x + b, & x > 1 \end{array}

在

x = 1

处可导, 则 (

A.

a = - 1, b = 2

B.

a = 1, b = - 1

C.

a = 2, b = 0

D.

a = 2, b = - 1

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3. 已知

y = \ln (1 - x)

, 则

\frac{d^{n} y}{d x^{n}} = ()

A.

(- 1)^{n - 1} \frac{(n - 1)!}{(1 - x)^{n}}

B.

- \frac{(n - 1)!}{(1 - x)^{n}}

C.

(- 1)^{n - 1} \frac{1}{(1 - x)^{n}}

D.

- \frac{1}{(1 - x)^{n}}

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4. 设函数

f (x)

具有 2 阶导数,

g (x) = f (0) (1 - x) + f (1) x

,则在区间

[0, 1]

上 ( )

A.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

B.

当

f^{'} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

C.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \geq g (x)

D.

当

f^{''} (x) \geq 0

时,

f (x) \leq g (x)

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5. 设函数

f (x)

在区间

[0, 1]

上连续, 则

\int_{0}^{1} f (x) d x = ()

A.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{2 k - 1}{2 n}) \frac{1}{2 n}

B.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (\frac{2 k - 1}{2 n}) \frac{1}{n}

C.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2 n} f (\frac{k - 1}{2 n}) \frac{1}{n}

D.

lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{2 n} f (\frac{k}{2 n}) \frac{2}{n}

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6. 若函数

f (x)

在点

x = x_{0}

处取得极大值，则下列说法正确的是

A.

f^{'} (x_{0}) = 0

B.

f^{''} (x_{0}) < 0

C.

f^{'} (x_{0}) = 0

且

f^{''} (x_{0}) < 0

D.

f^{'} (x_{0}) = 0

或

f^{'} (x_{0})

不存在

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7. 如图 1, 三条曲线是某个函数若

f (x)

及其一阶导函数

f^{'} (x)

与二阶导函数

f^{''} (x)

的图形, 则

y = f (x), y = f^{'} (x), y = f^{''} (x)

的图形依次是

A.

(a) (b) (c)

B.

(b) (c) (a)

C.

(c) (a) (b)

D.

(b) (a) (c)

E.

(c) (a) (b)

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lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 2

, 则

lim_{x \to 0} \frac{\sin 2 x}{f (3 x)} = () 。

A.

3 / 2

B.

2 / 3

C.

1 / 3

D.

4 / 3

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9. 设

f (x) = 2^{x} + 3^{x} - 2

，则当

x \to 0

时，有（）

A.

f (x)

与

x

是等价无穷小．

B.

f (x)

与

x

同阶但非等价无穷小．

C.

f (x)

是比

x

高阶的无穷小．

D.

f (x)

是比

x

低阶的无穷小．

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10. 设

f (x) = {\begin{cases} \frac{2}{3} x^{3}, x \leq 1 \\ x^{2}, x > 1 \end{cases}

则

f (x)

在

x = 1

处的

A.

左，右导数都存在．

B.

左导数存在，右导数不存在．

C.

左导数不存在，右导数存在．

D.

左，右导数都不存在．

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11. 设

f (x)

可导，

F (x) = f (x) (1 + | \sin x |)

，则

f (0) = 0

是

F (x)

在

x = 0

处可导的（）

A.

充分必要条件．

B.

充分条件但非必要条件．

C.

必要条件但非充分条件．

D.

既非充分条件又非必要条件．

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二、填空题（共 6 题），请把答案直接填写在答题纸上

12.

lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x} =

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13. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x}

;

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14. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\tan x - x}{x - \sin x}

;

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15. 求极限

lim_{x \to π} \frac{\sin 3 x}{\tan 5 x}

;

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16. 设

\frac{\sin x}{x}

是

f (x)

的一个原函数, 则为

\int_{\frac{π}{2}}^{π} x f^{'} (x) d x =

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17. 设

lim_{x \to 0} \frac{\sin 6 x + x f (x)}{x^{3}} = 0

, 则

lim_{x \to 0} \frac{6 + f (x)}{x^{2}} =

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三、解答题（共 9 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

18.

\int \sin^{2} x \cos^{5} x d x

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19.

\int x \cos x d x

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20.

\int x (1 - 2 x)^{99} d x

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21. 设

Φ (x) = \int_{x}^{x^{2}} \frac{\sin (x y)}{y} d y

, 求

Φ^{'} (x)

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22. 已知函数

f (x) = {\begin{cases} (\cos x)^{x^{- 2}}, 0 < | x | < \frac{π}{2} \\ a, x = 0 \end{cases}

在

x = 0

连续，则

a =

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23. 试从

\frac{d x}{d y} = \frac{1}{y^{'}}

导出：
（1）

\frac{d^{2} x}{d y^{2}} = - \frac{y^{''}}{{(y^{'})}^{3}}

；
（2）

\frac{d^{3} x}{d y^{3}} = \frac{3 {(y^{''})}^{2} - y^{'} y^{'''}}{{(y^{'})}^{5}}

．

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24. 求由方程

y^{5} + 2 y - x - 3 x^{7} = 0

所确定的隐函数在

x = 0

处的一阶导数与二阶导数

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25.

lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x^{2})}{\sec x - \cos x}

;

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26.

lim_{x \to 0} x^{2} e^{\frac{1}{x^{2}}}

;

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