单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x), g(x)$ 均有二阶连续导数, 满足 $f(0)>0, g(0) < 0$, 且 $f^{\prime}(0)=$ $g^{\prime}(0)=0$, 则函数 $z=f(x) g(y)$ 在点 $(0,0)$ 处取得极小值的一个充分条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime \prime}(0) < 0, g^{\prime \prime}(0) < 0$.
$\text{C.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0)>0$.
$\text{D.}$ $f^{\prime \prime}(0)>0, g^{\prime \prime}(0) < 0$.
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，则在开区间 $(a, b)$ 内 $f(x)$ 必有 $(\quad)$
$\text{A.}$ 导函数
$\text{B.}$ 原函数
$\text{C.}$ 最大值或最小值
$\text{D.}$ 极值
下列说法不正确的是（）。
$\text{A.}$ 一切初等函数在其定义区间上都存在有原函数
$\text{B.}$ 不连续的函数也可能存在有原函数
$\text{C.}$ 连续的奇函数的原函数都是偶函数
$\text{D.}$ 连续的偶函数的原函数都是奇函数
以下结论正确的是 ( )
$\text{A.}$ $d \left[\int f(x) d x\right]=f(x)$
$\text{B.}$ $\left[\int f(x) d x\right]^{\prime}=\int f^{\prime}(x) d x$
$\text{C.}$ $\int f^{\prime}(x) d x=f(x)$
$\text{D.}$ $d \left[\int f(x) d x\right]=f(x) d x$
若 $\int f(x) d x=F(x)+C$ ，则 $\int f(a x+b) d x=(\quad)$.
$\text{A.}$ $a F(a x+b)+C$
$\text{B.}$ $\frac{F(a x+b)}{a}+C$
$\text{C.}$ $\frac{F(x)}{a}+C$
$\text{D.}$ $a F ( x )+C$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^2+\cos ^3 x-1}{(x+\sin x)^2}=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1+e^x}{2}\right)^{\cot x}=$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
设 $\frac{\ln x}{x}$ 为 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int x f^{\prime}(x) d x=$
$\int|x| d x=$ $\qquad$ （写成一个函数表达式）
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)=\frac{(x-1)(x-2) \cdot \cdots \cdot(x-n)}{(x+1)(x+2) \cdot \cdots \cdot(x+n)}$, 求 $f^{\prime}(1)$.
已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2 x}, x>0, \\ x e^x+1, x \leq 0 .\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并求 $f(x)$ 的极值.
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left[\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{x}}-1\right]$ 之值.
$\lim _{x \rightarrow 0}(1+\sin x-\sin (\sin x))^{\frac{1}{x^3}}$.
设函数 $z=z(x, y)$ 由方程 $x y=e^z-z$ 所确定, 求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}$
求不定积分 $\int \sqrt{a^2-x^2} d x(a>0)$.
设生产某产品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元 $/$ 件，价格函数为 $P=60-\frac{Q}{1000}$ ( $P$ 是单价，单位：元， $Q$是销量，单位：件），已知产销平衡，求：
(1) 该商品的边际利润;
(2) 当 $P=50$ 时的边际利润，并解释其经济意义.;
(3) 使得利润最大的定价 $\boldsymbol{P}$.
已知可导函数 $y=y(x)$ 满足
$$
a e^x+y^2+y-\ln (1+x) \cos y+b=0
$$
且 $y(0)=0, y^{\prime}(0)=0$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
(2) 判断 $x=0$ 是否为 $y(x)$ 的极值点.