一、解答题 （ 共 2 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
某味精厂用一台包装机包装味精，每袋质量 X(单位:g)服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 根据要求, 每袋质量应 为 $100 \mathrm{~g}$. 由于长期实跷表明标准差比较稳定, 且 $\sigma=0.5 \mathrm{~g}$. 现从某天包装的味精中抽取 9 袋, 测得 $\bar{x}=99.62 \mathrm{~g}$ ，问这一天包装机的工作是否正常? $\left(\alpha=0.05, u_{\alpha / 2}=1.96\right)$
（证明题）设 $X$ 服从区间 $(0,2)$ 上的均匀分布，证明: $Y=2 X^2$ 的密度函数当 $0 < y < 8$ 时， $f_Y(y)=1 / \sqrt{32 y}$.