一、单选题 （共 15 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设$f(x)$在$[0, \infty)$上连续,在$(0, \infty)$内可导,则$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 若 $\lim \limits _{x \rightarrow 0^{ }}f(x)=0$, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0^{ }}f'(x)=0$
$\text{B.}$ 若 $\lim \limits _{x \rightarrow 0^{ }}f'(x)=0$, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0^{ }}f(x)=0$
$\text{C.}$ 若 $\lim \limits _{x \rightarrow \infty }f(x)= \infty $, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow \infty }f'(x)= \infty$
$\text{D.}$ 若 $\lim \limits {x \rightarrow \infty }f'(x)=A>0$, 则 $\lim \limits {x \rightarrow \infty }f(x)= \infty$
若$f(-x)=-f(x)$,且在$(0, \infty)$内. $f'(x)>0$,$f'(x)>0$, 则在$(-\infty,0)$内$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $f'(x) < 0$,$f''(x) < 0$
$\text{B.}$ $f'(x) < 0$,$f''(x)>0$
$\text{C.}$ $f'(x)>0$,$f''(x) < 0$
$\text{D.}$ $f'(x)>0$,$f''(x)>0$
若$f(-x)=-f(x)$,且在$(0, \infty)$内. $f'(x)>0$,$f'(x)>0$, 则在$(-\infty,0)$内$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $2e^2$
$\text{B.}$ $2e^{-2}$
$\text{C.}$ $e^2-1$
$\text{D.}$ $e^{-2}-1$
设$y=y(x)$由 $x- \int _{1}^{x y}e^{-t^{2}}dt=0$ 确定，则 $y''(0)=\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $2e^2$
$\text{B.}$ $2e^{-2}$
$\text{C.}$ $e^2-1$
$\text{D.}$ $e^{-2}-1$
设 $f(x)=|x^3-x|(e^x-1)$, 其不可导的点为$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ $x = 0$
$\text{B.}$ $x = 1$
$\text{C.}$ $x =2$
$\text{D.}$ $x = 3$
设函数 $f(x)= \begin{cases} x^{3} \sin \dfrac {1}{x},&x>0, \\ x^{2},&x \le 0, \end{cases}$ 则在点$x=0$处$f(x)\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续但不可导
$\text{C.}$ 可导但导数不连续
$\text{D.}$ 导数连续
设 $f(x) =|x^3- 1 |g(x)$, 其中$g(x)$连续,则$g(1)=0$是$f(x)$在$x=1$处可导的$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $f(x)= \begin{cases} \frac {1- \cos x}{ \sqrt {x}},&x>0, \\ x^{2}g(x),&x \le 0, \end{cases}$ 其中$g(x)$为有界函数,则$f(x)$在$x=0$处$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 极限存在，但不连续
$\text{C.}$ 连续，但不可导
$\text{D.}$ 可导
设函数$f(x)在|x| < \delta$内有定义且$|f( x)| ≤x^2$, 则$f(x)$在$x=0$处$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续但不可微
$\text{C.}$ 可微且 $f'(0)=0$
$\text{D.}$ 可微但 $f'(0)≠0$
设 $f(x)= \begin{cases} x^{2} \sin \dfrac {1}{x},&x \neq 0, \\ 0,&x=0, \end{cases}$ 则$f(x)$在$x=0$处$\left(\quad\right)$.
$\text{A.}$ 不连续
$\text{B.}$ 连续
$\text{C.}$ 可导，但不连续
$\text{D.}$ 连续可导
设 $f'(1)=2$, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {f(1-2x)-f(1 2x)}{ \ln (1-4x)}=( \quad \quad )$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $- \dfrac {1}{2}$
$\text{D.}$ $\dfrac {1}{2}$
设 $f'(1)=2$, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {f(1-2x)-f(1 2x)}{ \ln (1-4x)}=( \quad \quad )$
$\text{A.}$ -2
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ $- \dfrac {1}{2}$
$\text{D.}$ $\dfrac {1}{2}$
下列函数中,在$x=0$处可导的是$\left(\quad\quad\right)$.
$\text{A.}$ $f(x)= \dfrac {|x|}{x 1}$
$\text{B.}$ $f(x)= \sqrt { \cos x}$
$\text{C.}$ $f(x)=x \arctan \dfrac {1}{x}$
$\text{D.}$ $f(x)= \cos \sqrt {|x|}$
设$g(x)$有界$f(x)= \begin{cases} \dfrac { \cos x-1}{x},&x < 0, \\ x^{ \dfrac {3}{2}}g(x),&x \ge 0, \end{cases}$ 则$f(x)$在$x=0$处$\left(\quad\quad\right)$.
$\text{A.}$ 极限不存在
$\text{B.}$ 存在极限但不连续
$\text{C.}$ 连续但不可导
$\text{D.}$ 可导
设$f(x)$以2为周期且 $f'(1)=\pi$, 则 $\lim \limits _{x \rightarrow 0} \dfrac {f(3 2x)-f(-1- \sin x)}{x}=( \quad \quad )$.
$\text{A.}$ $\pi$
$\text{B.}$ $2\pi$
$\text{C.}$ $3\pi$
$\text{D.}$ $4\pi$
二、填空题 （共 18 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $\begin{cases} x=1 t^{2}, \\ y= \cos t, \end{cases}$ 则 $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $f(x) = \ln (2x^2-x- 1)$ ,则 $f^{(n)}(x)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(u)$可导,$y=f(x^2)$在$x_0=-1$取得增量$\Delta x=0.05$时,函数增量$\Delta y$的线性部分为0.15,则$f'(1)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=f(x)$连续,且$f(x)=2x 1 o(x-2)$,则$dy|_{x=2}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$连续,则 $\dfrac {d}{dx} \int {-x}^{x}[f(t x) f(t-x)]dt= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $\varphi (x)= \int_ {0}^{x^{2}}(x^{2}-t)f(t)dt$ 其中$f$连续，则 $\varphi''(x)=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$连续,且$f(0)=0$,$f'(0)=4$,则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac { \int _{0}^{x}f(x-t)dt}{x^{2}}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$是以2为周期的连续函数，且 $\lim \limits_ {x \rightarrow 1} \dfrac {f(x) 2}{x-1}=3$, 则曲线$L:y=f(x)$在点$(-3,f(-3))$处的切线方程为$\underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$为奇函数,且 $f'(1)=2$, 则 $\dfrac {d}{dx}f(x^{3})|_{x=-1}=\underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$由 $e^{x y} \cos xy=\sin 3x 2$ 确定，则 $\dfrac {dy}{dx}|{x=0}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$由 $\sqrt {x^{2} y^{2}} \ln y=1 2xy$ 确定，则 $\dfrac {dy}{dx}|{x=0}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$由 $\sqrt {x^{2} y^{2}} \ln y=1 2xy$ 确定，则 $\dfrac {dy}{dx}|{x=0}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$y=y(x)$由 $e^{xy}=x^2 y 1$ 确定，则 $\dfrac {dy}{dx}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设 $f(x)= \begin{cases} ax b,x < 0 \\ e^{2x},x \ge 0 \end{cases}$ , 在$x=0$处可导,则$a=\underline { \quad \quad \quad } $,$b=\underline { \quad \quad \quad }$ .
设$f(x)=x(x-1)(x 2)…(x-99)(x 100)$,则 $f'(0)=\underline{\quad\quad\quad}$.
设$f(x)$连续,且$f(1)=0$,$f'(1)=-4$,则 $\lim \limits_ {x \rightarrow 0} \dfrac {f( \cos x)-f(e^{x^{2}})}{x \ln (1 2x)}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$连续,且 $\lim \limits_ {x \rightarrow a} \dfrac {f(x)-1}{x-a}=2$, 则 $\lim \limits_ {h \rightarrow 0} \dfrac {f^{2}(a 2h)-f^{2}(a-h)}{h}= \underline { \quad \quad \quad }$.
设$f(x)$为连续的偶函数，且 $\lim \limits {x \rightarrow 1} \frac {f(x)-2}{x-1}=1$, 则 $\lim \limits {h \rightarrow 0} \frac {f(1 h)-f(-1 2h)}{h}= \underline { \quad \quad \quad }$.
三、解答题 （ 共 7 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $y=\ln(2 3^{-x})$ 求 $dy|_{x=0}$.
(1)设 $y= \dfrac {1- \sqrt {x}}{1 x}e^{ \sin ^{2}(2x 1)}$, 求$y'$.
(2)设 $y=x^{ \sin { \dfrac {1}{x}}}$, 求$y'$.
(3)设 $y=2^{ \arctan \dfrac {1-x^{2}}{1 x^{2}}}$, 求$y'$.
(1)设函数$y=y(x)$由 $\begin{cases} x= \arctan t, \\ y= \ln (1 t^{2}) \end{cases} $确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$, $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$.
(2)设函数$y=y(x)$由 $\begin{cases} x=1 t^{2}, \\ y= \sin 2t \end{cases}$ 确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$, $\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}$.
设$y=\ln (2x 1)$,求 $y^{(n)}( n ≥ 2)$.
设$f(x)= \begin{cases} \sin 2x,&x < 0, \\ \ln(1 2x),&x \ge 0, \end{cases}$，求$f'(x)$.
(1)设$y=y(x)$由 $e^{xy}=x^2 y^2 1 $确定，求 $\dfrac {dy}{dx}$.
(2)设$y=y(x)$由$\sin xy y-3x=1$确定,求$y'(0)$.
(3)设$y=y(x)$由 $e^{xy}=\sin 2x y^3$ 确定,求$y'(0)$.
计算下列函数的导数.
(1)$y=\ln^2\arctan x$.
(2)$y=e^{ \sin ^{2} \frac {1}{x}} \arctan \dfrac {1 x}{1-x}$.
(3)$y=x^{\sin 2x}$.
(4)$y= \dfrac {x}{ \sqrt {x^{2} 1}}$.